Номер 25.15, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.15, страница 163.

25.15. Найдите $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к заданному числу:

а) $0,33$;

б) $0,46$;

в) $0,1$;

г) $0,49$.

Для решения данной задачи необходимо использовать таблицу значений функции Лапласа $\Phi(x)$. Функция Лапласа, также известная как интеграл вероятностей, определяется следующим образом:

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-t^2/2} dt$

Поскольку этот интеграл не выражается через элементарные функции, для нахождения аргумента $x$ по заданному значению функции $\Phi(x)$ пользуются заранее вычисленными таблицами. Задача сводится к поиску в таблице значения, наиболее близкого к заданному, и определению соответствующего ему аргумента $x$.

а)

Требуется найти $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к 0,33. Обратимся к таблице значений функции Лапласа. В таблице мы не найдем точного значения 0,33, поэтому ищем два наиболее близких:

$\Phi(0.95) = 0.3289$

$\Phi(0.96) = 0.3315$

Теперь сравним, какое из этих значений находится ближе к 0,33, вычислив абсолютные разности:

$|0.33 - 0.3289| = 0.0011$

$|0.3315 - 0.33| = 0.0015$

Поскольку $0.0011 < 0.0015$, значение $\Phi(0.95)$ ближе к 0,33. Следовательно, искомое значение $x$ примерно равно 0,95.

Ответ: $x \approx 0.95$

б)

Требуется найти $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к 0,46. По таблице значений функции Лапласа находим два ближайших значения:

$\Phi(1.75) = 0.4599$

$\Phi(1.76) = 0.4608$

Сравним их удаленность от 0,46:

$|0.46 - 0.4599| = 0.0001$

$|0.4608 - 0.46| = 0.0008$

Так как $0.0001 < 0.0008$, значение $\Phi(1.75)$ является ближайшим. Таким образом, искомое значение $x$ примерно равно 1,75.

Ответ: $x \approx 1.75$

в)

Требуется найти $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к 0,1. По таблице значений функции Лапласа находим:

$\Phi(0.25) = 0.0987$

$\Phi(0.26) = 0.1026$

Сравним абсолютные разности с 0,1:

$|0.1 - 0.0987| = 0.0013$

$|0.1026 - 0.1| = 0.0026$

Поскольку $0.0013 < 0.0026$, значение $\Phi(0.25)$ ближе к 0,1. Значит, искомое значение $x$ примерно равно 0,25.

Ответ: $x \approx 0.25$

г)

Требуется найти $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к 0,49. По таблице значений функции Лапласа находим:

$\Phi(2.32) = 0.4898$

$\Phi(2.33) = 0.4901$

Сравним их удаленность от 0,49:

$|0.49 - 0.4898| = 0.0002$

$|0.4901 - 0.49| = 0.0001$

Так как $0.0001 < 0.0002$, значение $\Phi(2.33)$ является ближайшим. Следовательно, искомое значение $x$ примерно равно 2,33.

Ответ: $x \approx 2.33$