Номер 25.20, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.20, страница 164.

•25.20. В большом десятиэтажном доме на каждом этаже живёт одинаковое количество жильцов. Какова вероятность того, что из 150 случайным образом опрошенных жильцов этого дома:

а) на первом этаже проживают не менее 15 человек;

б) на последних двух этажах проживают не более 30 человек;

в) на чётных этажах живут от 70 до 80 человек;

г) выше четвёртого этажа живут более 99 человек?

Данную задачу можно решить, используя нормальное приближение биномиального распределения (интегральную теорему Муавра-Лапласа), так как число опрошенных жильцов ($n=150$) велико.

Общее количество испытаний $n=150$. Для каждого подпункта определим вероятность "успеха" $p$. Математическое ожидание числа успехов равно $\mu = np$, а стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$. Вероятность $P(k_1 \le k \le k_2)$ для дискретной случайной величины $k$ приближённо равна $P(k_1 - 0.5 \le X \le k_2 + 0.5)$ для непрерывной нормальной случайной величины $X$. Эта вероятность вычисляется через функцию стандартного нормального распределения $\Phi(z)$, где $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

а) на первом этаже проживают не менее 15 человек

Вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт на первом этаже, составляет $p = \frac{1}{10} = 0.1$.
Найдём математическое ожидание и стандартное отклонение для числа жильцов с первого этажа среди 150 опрошенных:
$\mu = np = 150 \cdot 0.1 = 15$.
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{13.5} \approx 3.674$.
Нам нужно найти вероятность $P(k \ge 15)$. С учётом поправки на непрерывность, это соответствует $P(X \ge 14.5)$.
Вычислим z-значение:
$z = \frac{14.5 - 15}{3.674} = \frac{-0.5}{3.674} \approx -0.136$.
Искомая вероятность:
$P(k \ge 15) \approx P(Z \ge -0.136) = 1 - \Phi(-0.136) = \Phi(0.136)$.
По таблице значений функции стандартного нормального распределения, $\Phi(0.136) \approx 0.5541$.
Ответ: $0.5541$.

б) на последних двух этажах проживают не более 30 человек

Вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт на одном из двух последних этажей (9-м или 10-м), составляет $p = \frac{2}{10} = 0.2$.
Найдём математическое ожидание и стандартное отклонение:
$\mu = np = 150 \cdot 0.2 = 30$.
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0.2 \cdot 0.8} = \sqrt{24} \approx 4.899$.
Нам нужно найти вероятность $P(k \le 30)$. С учётом поправки на непрерывность, это соответствует $P(X \le 30.5)$.
Вычислим z-значение:
$z = \frac{30.5 - 30}{4.899} = \frac{0.5}{4.899} \approx 0.102$.
Искомая вероятность:
$P(k \le 30) \approx P(Z \le 0.102) = \Phi(0.102)$.
По таблице, $\Phi(0.102) \approx 0.5406$.
Ответ: $0.5406$.

в) на чётных этажах живут от 70 до 80 человек

В доме 5 чётных этажей (2, 4, 6, 8, 10). Вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт на чётном этаже, составляет $p = \frac{5}{10} = 0.5$.
Найдём математическое ожидание и стандартное отклонение:
$\mu = np = 150 \cdot 0.5 = 75$.
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{37.5} \approx 6.124$.
Нам нужно найти вероятность $P(70 \le k \le 80)$. С учётом поправки на непрерывность, это соответствует $P(69.5 \le X \le 80.5)$.
Вычислим z-значения для границ интервала:
$z_1 = \frac{69.5 - 75}{6.124} = \frac{-5.5}{6.124} \approx -0.898$.
$z_2 = \frac{80.5 - 75}{6.124} = \frac{5.5}{6.124} \approx 0.898$.
Искомая вероятность:
$P(70 \le k \le 80) \approx P(-0.898 \le Z \le 0.898) = \Phi(0.898) - \Phi(-0.898) = 2\Phi(0.898) - 1$.
По таблице, $\Phi(0.898) \approx 0.8154$.
$P = 2 \cdot 0.8154 - 1 = 1.6308 - 1 = 0.6308$.
Ответ: $0.6308$.

г) выше четвёртого этажа живут более 99 человек

Этажи выше четвёртого — это 5, 6, 7, 8, 9, 10. Всего 6 этажей. Вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт выше четвёртого этажа, составляет $p = \frac{6}{10} = 0.6$.
Найдём математическое ожидание и стандартное отклонение:
$\mu = np = 150 \cdot 0.6 = 90$.
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0.6 \cdot 0.4} = \sqrt{36} = 6$.
Нам нужно найти вероятность $P(k > 99)$, что эквивалентно $P(k \ge 100)$. С учётом поправки на непрерывность, это соответствует $P(X \ge 99.5)$.
Вычислим z-значение:
$z = \frac{99.5 - 90}{6} = \frac{9.5}{6} \approx 1.583$.
Искомая вероятность:
$P(k > 99) \approx P(Z \ge 1.583) = 1 - P(Z < 1.583) = 1 - \Phi(1.583)$.
По таблице, $\Phi(1.583) \approx 0.9433$.
$P = 1 - 0.9433 = 0.0567$.
Ответ: $0.0567$.