Номер 25.18, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.18, страница 164.

25.18. (Продолжение задачи 25.12.) Какова вероятность того, что из 10 000 участников в следующий этап пройдут:

a) от 500 до 1000 человек;

б) не более 970 человек;

в) от 800 до 1200 человек;

г) не менее 2000 человек?

Данная задача является задачей на повторение независимых испытаний (схема Бернулли). Пусть $X$ — случайная величина, равная числу участников, прошедших в следующий этап. Общее число участников (испытаний) $n = 10000$.

Поскольку задача является продолжением задачи 25.12, необходимо использовать данные из нее. Судя по вопросам, где фигурируют числа, близкие к 1000, можно предположить, что математическое ожидание числа прошедших участников равно 1000. Отсюда можно найти вероятность $p$ того, что один участник пройдет в следующий этап: $E[X] = np = 10000 \cdot p = 1000 \implies p = 0.1$.

Таким образом, мы имеем дело с биномиальным распределением с параметрами $n=10000$ и $p=0.1$. Так как $n$ велико, а $p$ не слишком близко к 0 или 1 ($np=1000 > 5$ и $nq=10000 \cdot 0.9 = 9000 > 5$), для нахождения вероятностей можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Математическое ожидание: $\mu = np = 1000$.
Среднеквадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{10000 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{900} = 30$.

Вероятность того, что число успехов $X$ окажется в промежутке от $k_1$ до $k_2$, вычисляется по формуле:
$P(k_1 \le X \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$,
где $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-t^2/2} dt$ — функция Лапласа, а $x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}$ и $x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}$.

а) от 500 до 1000 человек;
Требуется найти $P(500 \le X \le 1000)$.
Вычисляем значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{500 - 1000}{30} = \frac{-500}{30} \approx -16.67$
$x_2 = \frac{1000 - 1000}{30} = 0$
Тогда вероятность равна:
$P(500 \le X \le 1000) \approx \Phi(0) - \Phi(-16.67)$.
Используя свойство нечетности функции Лапласа $\Phi(-x) = -\Phi(x)$, получаем:
$P(500 \le X \le 1000) \approx \Phi(0) - (-\Phi(16.67)) = \Phi(0) + \Phi(16.67)$.
Из таблиц значений функции Лапласа: $\Phi(0) = 0$. Для $x > 5$, $\Phi(x) \approx 0.5$.
$P(500 \le X \le 1000) \approx 0 + 0.5 = 0.5$.
Ответ: 0.5.

б) не более 970 человек;
Требуется найти $P(X \le 970)$, что соответствует $P(0 \le X \le 970)$.
Вычисляем значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{0 - 1000}{30} = \frac{-1000}{30} \approx -33.33$
$x_2 = \frac{970 - 1000}{30} = \frac{-30}{30} = -1$
Тогда вероятность равна:
$P(0 \le X \le 970) \approx \Phi(-1) - \Phi(-33.33) = -\Phi(1) + \Phi(33.33)$.
Из таблиц значений функции Лапласа: $\Phi(1) \approx 0.3413$, а $\Phi(33.33) \approx 0.5$.
$P(0 \le X \le 970) \approx -0.3413 + 0.5 = 0.1587$.
Ответ: 0.1587.

в) от 800 до 1200 человек;
Требуется найти $P(800 \le X \le 1200)$.
Вычисляем значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{800 - 1000}{30} = \frac{-200}{30} \approx -6.67$
$x_2 = \frac{1200 - 1000}{30} = \frac{200}{30} \approx 6.67$
Тогда вероятность равна:
$P(800 \le X \le 1200) \approx \Phi(6.67) - \Phi(-6.67) = 2\Phi(6.67)$.
Так как аргумент $x = 6.67$ очень велик ($x > 5$), значение функции Лапласа $\Phi(6.67)$ очень близко к 0.5.
$P(800 \le X \le 1200) \approx 2 \cdot 0.5 = 1$.
Это означает, что событие практически достоверно.
Ответ: $\approx 1$.

г) не менее 2000 человек?
Требуется найти $P(X \ge 2000)$, что соответствует $P(2000 \le X \le 10000)$.
Вычисляем значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{2000 - 1000}{30} = \frac{1000}{30} \approx 33.33$
$x_2 = \frac{10000 - 1000}{30} = \frac{9000}{30} = 300$
Тогда вероятность равна:
$P(2000 \le X \le 10000) \approx \Phi(300) - \Phi(33.33)$.
Оба аргумента $33.33$ и $300$ очень велики, поэтому значения функции Лапласа для них практически равны 0.5.
$P(2000 \le X \le 10000) \approx 0.5 - 0.5 = 0$.
Это означает, что событие практически невозможно.
Ответ: $\approx 0$.