Номер 25.17, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.17, страница 163.

$25.17$. (Продолжение задачи $25.11$.) Какова вероятность того, что из $2500$ посетителей бесплатно пройдут:

а) от $500$ до $1000$ человек;

б) от $400$ до $600$ человек;

в) от $500$ до $520$ человек;

г) от $490$ до $510$ человек?

Для решения данной задачи необходимо знать вероятность $p$ того, что один посетитель пройдет бесплатно. Поскольку эта задача является продолжением задачи 25.11, условие которой не предоставлено, мы сделаем стандартное предположение для подобных задач: каждый пятый посетитель проходит бесплатно. Таким образом, вероятность бесплатного прохода для одного посетителя составляет $p = 1/5 = 0.2$.

Мы имеем дело с серией из $n=2500$ независимых испытаний (посетителей), где вероятность "успеха" (бесплатного прохода) в каждом испытании равна $p=0.2$. Число $k$ посетителей, прошедших бесплатно, подчиняется биномиальному распределению. Поскольку число испытаний $n$ велико, для нахождения вероятности того, что число успехов $k$ окажется в определенном интервале, можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа. Эта теорема позволяет аппроксимировать биномиальное распределение нормальным распределением.

Найдем параметры этого нормального распределения:

• Математическое ожидание (среднее число бесплатных посетителей):
  $\mu = np = 2500 \cdot 0.2 = 500$
• Дисперсия:
  $\sigma^2 = np(1-p) = 2500 \cdot 0.2 \cdot (1-0.2) = 2500 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 400$
• Среднее квадратическое отклонение:
  $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{400} = 20$

Вероятность того, что число $k$ бесплатных посетителей будет находиться в пределах от $k_1$ до $k_2$, вычисляется по интегральной формуле Лапласа:$P(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi_0(z_2) - \Phi_0(z_1)$,где $\Phi_0(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{z} e^{-t^2/2} dt$ — функция Лапласа. Значения этой функции берутся из специальных таблиц или вычисляются с помощью калькулятора. Важным свойством функции является $\Phi_0(-z) = -\Phi_0(z)$.

Для повышения точности при переходе от дискретного распределения к непрерывному будем использовать поправку на непрерывность. Тогда стандартизированные значения $z_1$ и $z_2$ вычисляются как:$z_1 = \frac{k_1 - 0.5 - \mu}{\sigma}$$z_2 = \frac{k_2 + 0.5 - \mu}{\sigma}$

а) от 500 до 1000 человек

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут от $k_1=500$ до $k_2=1000$ человек.Вычислим значения $z_1$ и $z_2$:$z_1 = \frac{500 - 0.5 - 500}{20} = \frac{-0.5}{20} = -0.025$$z_2 = \frac{1000 + 0.5 - 500}{20} = \frac{500.5}{20} = 25.025$Теперь вычислим вероятность:$P(500 \le k \le 1000) \approx \Phi_0(25.025) - \Phi_0(-0.025) = \Phi_0(25.025) + \Phi_0(0.025)$Значение $\Phi_0(z)$ для $z > 5$ практически равно $0.5$. Поэтому $\Phi_0(25.025) \approx 0.5$.Из таблиц, $\Phi_0(0.025) \approx 0.0100$.$P \approx 0.5 + 0.0100 = 0.5100$Ответ: $0.5100$

б) от 400 до 600 человек

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут от $k_1=400$ до $k_2=600$ человек.Вычислим значения $z_1$ и $z_2$:$z_1 = \frac{400 - 0.5 - 500}{20} = \frac{-100.5}{20} = -5.025$$z_2 = \frac{600 + 0.5 - 500}{20} = \frac{100.5}{20} = 5.025$Теперь вычислим вероятность:$P(400 \le k \le 600) \approx \Phi_0(5.025) - \Phi_0(-5.025) = 2\Phi_0(5.025)$Значение $\Phi_0(5.025)$ очень близко к $0.5$, $\Phi_0(5.025) \approx 0.49999975$.$P \approx 2 \cdot 0.49999975 = 0.9999995$Вероятность этого события практически равна 1.Ответ: $0.9999995$

в) от 500 до 520 человек

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут от $k_1=500$ до $k_2=520$ человек.Вычислим значения $z_1$ и $z_2$:$z_1 = \frac{500 - 0.5 - 500}{20} = \frac{-0.5}{20} = -0.025$$z_2 = \frac{520 + 0.5 - 500}{20} = \frac{20.5}{20} = 1.025$Теперь вычислим вероятность:$P(500 \le k \le 520) \approx \Phi_0(1.025) - \Phi_0(-0.025) = \Phi_0(1.025) + \Phi_0(0.025)$Из таблиц находим: $\Phi_0(1.025) \approx 0.3473$ и $\Phi_0(0.025) \approx 0.0100$.$P \approx 0.3473 + 0.0100 = 0.3573$Ответ: $0.3573$

г) от 490 до 510 человек

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут от $k_1=490$ до $k_2=510$ человек.Вычислим значения $z_1$ и $z_2$:$z_1 = \frac{490 - 0.5 - 500}{20} = \frac{-10.5}{20} = -0.525$$z_2 = \frac{510 + 0.5 - 500}{20} = \frac{10.5}{20} = 0.525$Теперь вычислим вероятность:$P(490 \le k \le 510) \approx \Phi_0(0.525) - \Phi_0(-0.525) = 2\Phi_0(0.525)$Из таблиц находим: $\Phi_0(0.525) \approx 0.2002$.$P \approx 2 \cdot 0.2002 = 0.4004$Ответ: $0.4004$