Номер 26.3, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.3, страница 165.

26.3. Придумайте три уравнения, равносильных уравнению:

а) $\sqrt{2x - 1} = 3;$

б) $\cos x = 3;$

в) $\lg x^2 = 4;$

г) $x^{\frac{3}{5}} = -1.$

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными. Чтобы придумать равносильные уравнения, сначала найдем корни исходного уравнения, а затем составим новые уравнения с таким же множеством корней.

а) Найдем корень уравнения $\sqrt{2x - 1} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 0.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как обе части неотрицательны: $(\sqrt{2x - 1})^2 = 3^2$
$2x - 1 = 9$
$2x = 10$
$x = 5$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x=5$. Теперь придумаем три уравнения, у которых также есть только один корень $x=5$.
1. Простое линейное уравнение: $x - 5 = 0$.
2. Уравнение, полученное на одном из шагов решения: $2x = 10$.
3. Квадратное уравнение с одним корнем: $(x-5)^2 = 0$.
Ответ: $x - 5 = 0$; $2x = 10$; $(x-5)^2 = 0$.

б) Рассмотрим уравнение $\cos x = 3$.
Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку число 3 не принадлежит этому отрезку, данное уравнение не имеет корней. Следовательно, нам нужно придумать три любых уравнения, которые также не имеют решений.
1. Уравнение, где квадрат действительного числа равен отрицательному числу: $x^2 = -1$.
2. Тригонометрическое уравнение, где значение функции выходит за область значений: $\sin x = 2$.
3. Уравнение, где модуль равен отрицательному числу: $|x| = -4$.
Ответ: $x^2 = -1$; $\sin x = 2$; $|x| = -4$.

в) Найдем корни уравнения $\lg x^2 = 4$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, $x^2 > 0$, что выполняется для всех $x \ne 0$.
По определению десятичного логарифма: $x^2 = 10^4$
$x^2 = 10000$
$x = \pm \sqrt{10000}$
$x_1 = 100$, $x_2 = -100$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Таким образом, множество корней исходного уравнения — $\{-100, 100\}$. Придумаем три уравнения с таким же множеством корней.
1. Уравнение, полученное в процессе решения: $x^2 = 10000$.
2. Уравнение с модулем: $|x| = 100$.
3. Эквивалентное логарифмическое уравнение, используя свойство $\lg a^2 = 2 \lg|a|$: $2 \lg|x| = 4$.
Ответ: $x^2 = 10000$; $|x| = 100$; $2 \lg|x| = 4$.

г) Найдем корень уравнения $x^{\frac{3}{5}} = -1$.
Степенная функция с дробным показателем $m/n$, где $n$ — нечетное число, определена для всех действительных $x$. Выражение можно записать как $(\sqrt[5]{x})^3 = -1$.
Решим уравнение: $(\sqrt[5]{x})^3 = -1$
Извлечем кубический корень из обеих частей: $\sqrt[5]{x} = \sqrt[3]{-1}$
$\sqrt[5]{x} = -1$
Возведем обе части в пятую степень: $x = (-1)^5$
$x = -1$.
Проверка: $(-1)^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{-1})^3 = (-1)^3 = -1$. Корень найден верно. Уравнение имеет единственный корень $x=-1$. Придумаем три уравнения, которые также имеют только корень $x=-1$.
1. Простое линейное уравнение: $x + 1 = 0$.
2. Уравнение, полученное в ходе решения: $x^3 = -1$.
3. Уравнение с корнем нечетной степени: $\sqrt[3]{x} = -1$.
Ответ: $x + 1 = 0$; $x^3 = -1$; $\sqrt[3]{x} = -1$.