Номер 26.8, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.8, страница 166.

26.8. a) $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$ и $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$;

б) $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$ и $\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 1?$

а)

Рассмотрим пару уравнений: $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$ и $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные уравнения, мы должны проверить, является ли переход от первого ко второму равносильным преобразованием.

Второе уравнение можно получить из первого, умножив обе части на знаменатель дроби, то есть на выражение $(x^2 + 1)$. Такое преобразование является равносильным тогда и только тогда, когда выражение, на которое мы умножаем, не обращается в ноль.

Проверим знаменатель $x^2 + 1$. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен и никогда не равен нулю.

Так как знаменатель $x^2 + 1 \neq 0$ при любых $x$, умножение на него является равносильным преобразованием. Выполним это умножение для первого уравнения:

$\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1) = 3 \cdot (x^2 + 1)$

$x^2 + 3x - 1 = 3(x^2 + 1)$

$x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$

Полученное уравнение в точности совпадает со вторым уравнением. Поскольку переход был равносильным, исходные уравнения имеют одинаковые множества решений, то есть они равносильны.

Для справки, решим полученное квадратное уравнение:

$3x^2 - x^2 - 3x + 3 + 1 = 0$

$2x^2 - 3x + 4 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$. Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Множество решений обоих уравнений пусто, что также подтверждает их равносильность.

Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение получено из первого путем равносильного преобразования — умножения на знаменатель $x^2 + 1$, который не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$.

б)

Рассмотрим пару уравнений: $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$ и $\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 1$.

Аналогично пункту а), проверим, является ли переход от первого уравнения ко второму равносильным. Первое уравнение можно преобразовать, умножив обе его части на знаменатель $(\sin x + 2)$.

Это преобразование будет равносильным, если знаменатель $\sin x + 2$ не обращается в ноль. Область значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$. Прибавив 2 ко всем частям этого двойного неравенства, получим:

$-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$

$1 \le \sin x + 2 \le 3$

Знаменатель $\sin x + 2$ всегда принимает значения от 1 до 3, а значит, он никогда не равен нулю. Следовательно, умножение на него является равносильным преобразованием.

Выполним умножение и раскроем скобки:

$\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} \cdot (\sin x + 2) = 0,5 \cdot (\sin x + 2)$

$\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 0,5 \cdot 2$

$\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 1$

Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением из условия. Это доказывает, что данные уравнения равносильны.

Решим полученное уравнение, чтобы найти множество решений:

$\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 1$

$\sin x - 0,5 \sin x = 1 - 1$

$0,5 \sin x = 0$

$\sin x = 0$

Решениями этого уравнения являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение получается из первого путем равносильного преобразования — умножения на знаменатель $\sin x + 2$, который не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$.