Страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Равносильны ли уравнения:

26.7. а) $3^{\sqrt{x}+4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1$ и $\sqrt{x+4}-x=0$;

б) $\sqrt{0,5x} \cdot 2^{x^2}\sqrt{2} = 4$ и $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары уравнений, нужно найти все корни каждого уравнения и сравнить полученные множества решений.

а) $3^{\sqrt{x}+4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1$ и $\sqrt{x+4} - x = 0$

Решим первое уравнение: $3^{\sqrt{x}+4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 3:
$3^{\sqrt{x}+4} \cdot (3^{-1})^x = 3^0$
$3^{\sqrt{x}+4} \cdot 3^{-x} = 3^0$
$3^{\sqrt{x}+4-x} = 3^0$
Приравниваем показатели степени:
$\sqrt{x}+4-x = 0$
$\sqrt{x} = x-4$
Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Это условие является более строгим, чем ОДЗ, поэтому будем использовать его.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (x-4)^2$
$x = x^2 - 8x + 16$
$x^2 - 9x + 16 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 81 - 64 = 17$.
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$.
Проверим корни на соответствие условию $x \ge 4$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{9-4.12}{2} \approx 2.44$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, он посторонний.
Корень $x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{9+4.12}{2} \approx 6.56$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 4$.
Таким образом, решение первого уравнения: $x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{x+4} - x = 0$.
ОДЗ: $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.
Преобразуем уравнение: $\sqrt{x+4} = x$.
Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. Объединяя с ОДЗ, получаем условие $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$x+4 = x^2$
$x^2 - x - 4 = 0$
Найдем корни: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.
Проверим корни на соответствие условию $x \ge 0$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} < 0$, посторонний корень.
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} > 0$, является решением.
Решение второго уравнения: $x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

Множества решений уравнений — $\{\frac{9 + \sqrt{17}}{2}\}$ и $\{\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\}$ — не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

б) $\sqrt{0,5^x \cdot 2^{x^2} \sqrt{2}} = 4$ и $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$

Решим первое уравнение: $\sqrt{0,5^x \cdot 2^{x^2} \sqrt{2}} = 4$.
Выражение под корнем всегда положительно, так как $0,5^x > 0$, $2^{x^2} > 0$ и $\sqrt{2} > 0$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$0,5^x \cdot 2^{x^2} \sqrt{2} = 4^2 = 16$
Представим все сомножители и правую часть как степени с основанием 2:
$0,5 = 2^{-1}$, $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, $16 = 2^4$.
$(2^{-1})^x \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{1/2} = 2^4$
$2^{-x} \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{1/2} = 2^4$
$2^{x^2 - x + 1/2} = 2^4$
Приравниваем показатели степени:
$x^2 - x + \frac{1}{2} = 4$
$2x^2 - 2x + 1 = 8$
$2x^2 - 2x - 7 = 0$
Найдем корни: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 4 + 56 = 60$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{15}}{2}$.
Решения первого уравнения: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{15}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{15}}{2}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$.
Это квадратное уравнение. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2x^2 - x + 1 = 4$
$2x^2 - x - 3 = 0$
Найдем корни: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$x = \frac{1 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$, $x_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Решения второго уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1,5$.

Множество решений первого уравнения $\{\frac{1 - \sqrt{15}}{2}, \frac{1 + \sqrt{15}}{2}\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-1, \frac{3}{2}\}$. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

26.8. a) $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$ и $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$;

б) $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$ и $\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 1?$

а)

Рассмотрим пару уравнений: $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$ и $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные уравнения, мы должны проверить, является ли переход от первого ко второму равносильным преобразованием.

Второе уравнение можно получить из первого, умножив обе части на знаменатель дроби, то есть на выражение $(x^2 + 1)$. Такое преобразование является равносильным тогда и только тогда, когда выражение, на которое мы умножаем, не обращается в ноль.

Проверим знаменатель $x^2 + 1$. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен и никогда не равен нулю.

Так как знаменатель $x^2 + 1 \neq 0$ при любых $x$, умножение на него является равносильным преобразованием. Выполним это умножение для первого уравнения:

$\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1) = 3 \cdot (x^2 + 1)$

$x^2 + 3x - 1 = 3(x^2 + 1)$

$x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$

Полученное уравнение в точности совпадает со вторым уравнением. Поскольку переход был равносильным, исходные уравнения имеют одинаковые множества решений, то есть они равносильны.

Для справки, решим полученное квадратное уравнение:

$3x^2 - x^2 - 3x + 3 + 1 = 0$

$2x^2 - 3x + 4 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$. Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Множество решений обоих уравнений пусто, что также подтверждает их равносильность.

Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение получено из первого путем равносильного преобразования — умножения на знаменатель $x^2 + 1$, который не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$.

б)

Рассмотрим пару уравнений: $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$ и $\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 1$.

Аналогично пункту а), проверим, является ли переход от первого уравнения ко второму равносильным. Первое уравнение можно преобразовать, умножив обе его части на знаменатель $(\sin x + 2)$.

Это преобразование будет равносильным, если знаменатель $\sin x + 2$ не обращается в ноль. Область значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$. Прибавив 2 ко всем частям этого двойного неравенства, получим:

$-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$

$1 \le \sin x + 2 \le 3$

Знаменатель $\sin x + 2$ всегда принимает значения от 1 до 3, а значит, он никогда не равен нулю. Следовательно, умножение на него является равносильным преобразованием.

Выполним умножение и раскроем скобки:

$\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} \cdot (\sin x + 2) = 0,5 \cdot (\sin x + 2)$

$\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 0,5 \cdot 2$

$\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 1$

Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением из условия. Это доказывает, что данные уравнения равносильны.

Решим полученное уравнение, чтобы найти множество решений:

$\sin x + 1 = 0,5 \sin x + 1$

$\sin x - 0,5 \sin x = 1 - 1$

$0,5 \sin x = 0$

$\sin x = 0$

Решениями этого уравнения являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение получается из первого путем равносильного преобразования — умножения на знаменатель $\sin x + 2$, который не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$.

Докажите, что уравнение не имеет корней:

26.9. a) $\sqrt{3x - 5} = \sqrt{9 - 7x}$;

б) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 4.$

а) Чтобы доказать, что уравнение $\sqrt{3x - 5} = \sqrt{9 - 7x}$ не имеет корней, найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ 9 - 7x \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x \ge 5 \\ -7x \ge -9 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \le \frac{9}{7} \end{cases}$
Сравним полученные граничные значения: $\frac{5}{3}$ и $\frac{9}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю $21$:
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{35}{21}$
$\frac{9}{7} = \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{27}{21}$
Так как $\frac{35}{21} > \frac{27}{21}$, то и $\frac{5}{3} > \frac{9}{7}$.
Система неравенств требует, чтобы переменная $x$ была одновременно больше или равна $\frac{5}{3}$ и меньше или равна $\frac{9}{7}$. Не существует такого числа $x$, которое было бы больше большего числа и одновременно меньше меньшего. Следовательно, система не имеет решений. Это означает, что область допустимых значений уравнения пуста.
Ответ: Так как область допустимых значений уравнения является пустым множеством, уравнение не имеет корней.

б) Чтобы доказать, что уравнение $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 4$ не имеет корней, найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} x^2 \ge 4 \\ x^2 \le 1 \end{cases}$
Эта система неравенств не имеет решений, так как не существует такого действительного числа $x$, квадрат которого был бы одновременно больше или равен $4$ и меньше или равен $1$.
Для наглядности, решим каждое неравенство отдельно:
1) $x^2 \ge 4 \Rightarrow |x| \ge 2 \Rightarrow x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
2) $x^2 \le 1 \Rightarrow |x| \le 1 \Rightarrow x \in [-1; 1]$.
Пересечение этих двух множеств пусто: $( (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) ) \cap [-1; 1] = \emptyset$.
Поскольку область допустимых значений пуста, левая часть уравнения не определена ни для какого значения $x$.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как его область допустимых значений является пустым множеством.

26.10. a) $\lg(x^2 - 9) + \lg(4 - x^2) = 1;$

б) $\lg(x^2 - 3x) - \lg(2x - x^2) = 0.5.$

a) $lg(x^2 - 9) + lg(4 - x^2) = 1$

Данное логарифмическое уравнение имеет смысл только тогда, когда аргументы обоих логарифмов строго положительны. Это условие определяет область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Запишем соответствующую систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ 4 - x^2 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) Первое неравенство: $x^2 - 9 > 0$. Это равносильно $x^2 > 9$. Решениями являются интервалы $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2) Второе неравенство: $4 - x^2 > 0$. Это равносильно $x^2 < 4$. Решением является интервал $x \in (-2; 2)$.

Область допустимых значений является пересечением множеств решений этих двух неравенств. Найдем это пересечение:

$((-\infty; -3) \cup (3; +\infty)) \cap (-2; 2) = \emptyset$

Пересечение этих множеств пусто, так как не существует чисел, которые были бы одновременно меньше -3 или больше 3, и при этом находились бы в интервале от -2 до 2.

Поскольку область допустимых значений пуста, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $lg(x^2 - 3x) - lg(2x - x^2) = 0{,}5$

Для решения данного уравнения сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ 2x - x^2 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности, используя метод интервалов.

1) $x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x(x - 3) > 0$. Корнями уравнения $x(x-3)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. График функции $y = x^2 - 3x$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

2) $2x - x^2 > 0 \Rightarrow x(2 - x) > 0$. Корнями уравнения $x(2-x)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. График функции $y = 2x - x^2$ — парабола с ветвями вниз, поэтому она принимает положительные значения на интервале между корнями: $x \in (0; 2)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений:

$((-\infty; 0) \cup (3; +\infty)) \cap (0; 2) = \emptyset$

Пересечение этих множеств является пустым множеством.

Так как область допустимых значений не содержит ни одного числа, то и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Решите уравнение:

26.11. a) $\sqrt{7x - 6} = x;$

б) $x + 3 = \sqrt{2x + 9};$

в) $\sqrt{6x - 11} = x - 1;$

г) $-x - 5 = \sqrt{7x + 23}.$

а) $\sqrt{7x-6} = x$

Для решения иррационального уравнения возведем обе его части в квадрат. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ).

1. ОДЗ:
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $7x - 6 \ge 0$, что дает $x \ge \frac{6}{7}$.
Так как квадратный корень по определению является неотрицательной величиной, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя эти два условия, получаем итоговое ОДЗ: $x \ge \frac{6}{7}$.

2. Решение уравнения:
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{7x-6})^2 = x^2$
$7x - 6 = x^2$
Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 7x + 6 = 0$

3. Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}$.
$x_1 = \frac{7-5}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{7+5}{2} = 6$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{6}{7}$):
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > \frac{6}{7}$.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 > \frac{6}{7}$.
Оба корня подходят.

Ответ: $x=1, x=6$.

б) $x + 3 = \sqrt{2x + 9}$

1. ОДЗ:
Выражение под корнем: $2x + 9 \ge 0 \implies 2x \ge -9 \implies x \ge -4.5$.
Левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Итоговое ОДЗ: $x \ge -3$.

2. Решение уравнения:
Возводим обе части в квадрат:
$(x + 3)^2 = (\sqrt{2x + 9})^2$
$x^2 + 6x + 9 = 2x + 9$
Переносим все члены в одну сторону:
$x^2 + 6x - 2x + 9 - 9 = 0$
$x^2 + 4x = 0$

3. Решаем полученное неполное квадратное уравнение:
Выносим $x$ за скобки:
$x(x + 4) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$):
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 > -3$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < -3$. Этот корень является посторонним.

Ответ: $x=0$.

в) $\sqrt{6x - 11} = x - 1$

1. ОДЗ:
Выражение под корнем: $6x - 11 \ge 0 \implies 6x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{6}$.
Правая часть уравнения: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Так как $\frac{11}{6} \approx 1.83$, то условие $x \ge \frac{11}{6}$ является более строгим. Итоговое ОДЗ: $x \ge \frac{11}{6}$.

2. Решение уравнения:
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{6x - 11})^2 = (x - 1)^2$
$6x - 11 = x^2 - 2x + 1$
Переносим все члены в одну сторону:
$x^2 - 2x - 6x + 1 + 11 = 0$
$x^2 - 8x + 12 = 0$

3. Решаем квадратное уравнение:
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$.
$x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{11}{6}$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 = \frac{12}{6}$, а $\frac{12}{6} > \frac{11}{6}$.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 > \frac{11}{6}$.
Оба корня подходят.

Ответ: $x=2, x=6$.

г) $-x - 5 = \sqrt{7x + 23}$

1. ОДЗ:
Выражение под корнем: $7x + 23 \ge 0 \implies 7x \ge -23 \implies x \ge -\frac{23}{7}$.
Левая часть уравнения: $-x - 5 \ge 0 \implies -x \ge 5 \implies x \le -5$.
Необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $x \ge -\frac{23}{7}$ (т.е. $x \ge -3\frac{2}{7}$) и $x \le -5$.
Эти условия противоречат друг другу, так как не существует числа, которое одновременно больше $-3\frac{2}{7}$ и меньше $-5$.
Следовательно, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет решений.

Для проверки можно возвести обе части в квадрат:
$(-x - 5)^2 = (\sqrt{7x + 23})^2$
$(x + 5)^2 = 7x + 23$
$x^2 + 10x + 25 = 7x + 23$
$x^2 + 3x + 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$.
Однако, ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \le -5$. Проверим их подстановкой в исходное уравнение:
Для $x = -1$: $-(-1) - 5 = \sqrt{7(-1) + 23} \implies 1-5 = \sqrt{16} \implies -4 = 4$, что неверно.
Для $x = -2$: $-(-2) - 5 = \sqrt{7(-2) + 23} \implies 2-5 = \sqrt{9} \implies -3 = 3$, что неверно.
Оба найденных корня являются посторонними.

Ответ: нет корней.

26.12. a) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1;$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2;$

В) $\sqrt{x^4 + x - 9} = 1 - x^2;$

Г) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1.$

а) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$

Это иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \geq 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$x^2 - 1 \geq 0$

$x^2 \geq 1$

$x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$

Теперь решим уравнение:

$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

$-3x - 1 = -2x^2 + 1$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \in [1; +\infty)$.

Корень $x_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию, так как $-0.5 \notin (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $2$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \geq 0 \end{cases}$

Решим неравенство:

$1 - x^2 \geq 0$

$x^2 \leq 1$

$x \in [-1; 1]$

Решим уравнение. Так как $(1 - x^2)^2 = (x^2 - 1)^2$, уравнение будет таким же, как и в пункте а):

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -0.5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-1; 1]$.

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $2 \notin [-1; 1]$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -0.5$ удовлетворяет условию, так как $-0.5 \in [-1; 1]$.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $-0.5$

в) $\sqrt{x^4 + x - 9} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 + x - 9 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \geq 0 \end{cases}$

Условие $1 - x^2 \geq 0$ означает, что $x \in [-1; 1]$.

Решим уравнение:

$x^4 + x - 9 = 1 - 2x^2 + x^4$

$x - 9 = 1 - 2x^2$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-1; 1]$.

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию ($2 \notin [-1; 1]$).

Корень $x_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию ($-2.5 \notin [-1; 1]$).

Оба корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней

г) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 + x - 9 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \geq 0 \end{cases}$

Условие $x^2 - 1 \geq 0$ означает, что $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Уравнение совпадает с уравнением из пункта в):

$x^4 + x - 9 = x^4 - 2x^2 + 1$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2.5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \in [1; +\infty)$.

Корень $x_2 = -2.5$ удовлетворяет условию, так как $-2.5 \in (-\infty; -1]$.

Оба корня подходят. Дополнительно можно выполнить проверку подстановкой в исходное уравнение, чтобы убедиться, что подкоренное выражение неотрицательно (хотя это следует из $x^4+x-9=(x^2-1)^2 \geq 0$).

Для $x=2$: $\sqrt{2^4+2-9} = \sqrt{16+2-9} = \sqrt{9} = 3$. Правая часть: $2^2-1=3$. $3=3$, верно.

Для $x=-2.5$: $\sqrt{(-2.5)^4+(-2.5)-9} = \sqrt{39.0625-2.5-9} = \sqrt{27.5625} = 5.25$. Правая часть: $(-2.5)^2-1 = 6.25-1 = 5.25$. $5.25=5.25$, верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-2.5; 2$

26.13. а) $\sqrt{x^4 - 5x^2 - 2,5x} = 5 - x^2$;

б) $\sqrt{x^4 - 5x^2 - 2,5x} = x^2 - 5$;

В) $\sqrt{x^4 - 3x^2 - 1,5x} = x^2 - 3$;

Г) $\sqrt{x^4 - 3x^2 - 1,5x} = 3 - x^2$.

а)

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{x^4 - 5x^2 - 2,5x} = 5 - x^2$

Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность правой части (так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным).

$ \begin{cases} 5 - x^2 \ge 0, \\ x^4 - 5x^2 - 2,5x = (5 - x^2)^2. \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$x^4 - 5x^2 - 2,5x = 25 - 10x^2 + x^4$
$x^4 - 5x^2 - 2,5x - x^4 + 10x^2 - 25 = 0$
$5x^2 - 2,5x - 25 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$10x^2 - 5x - 50 = 0$

Разделим уравнение на 5 для упрощения:

$2x^2 - x - 10 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $5 - x^2 \ge 0$ (или $x^2 \le 5$).

Для $x_1 = 2,5$:
$5 - (2,5)^2 = 5 - 6,25 = -1,25$.
Так как $-1,25 < 0$, корень $x_1 = 2,5$ является посторонним.

Для $x_2 = -2$:
$5 - (-2)^2 = 5 - 4 = 1$.
Так как $1 > 0$, корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию.

Ответ: -2

б)

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{x^4 - 5x^2 - 2,5x} = x^2 - 5$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 5 \ge 0, \\ x^4 - 5x^2 - 2,5x = (x^2 - 5)^2. \end{cases} $

Решим второе уравнение системы. Заметим, что $(x^2 - 5)^2 = (5 - x^2)^2$, поэтому после возведения в квадрат мы получим то же самое уравнение, что и в пункте а):

$x^4 - 5x^2 - 2,5x = x^4 - 10x^2 + 25$
$5x^2 - 2,5x - 25 = 0$
$2x^2 - x - 10 = 0$

Корни этого уравнения уже найдены: $x_1 = 2,5$ и $x_2 = -2$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x^2 - 5 \ge 0$ (или $x^2 \ge 5$).

Для $x_1 = 2,5$:
$(2,5)^2 - 5 = 6,25 - 5 = 1,25$.
Так как $1,25 > 0$, корень $x_1 = 2,5$ удовлетворяет условию.

Для $x_2 = -2$:
$(-2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.
Так как $-1 < 0$, корень $x_2 = -2$ является посторонним.

Ответ: 2,5

в)

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{x^4 - 3x^2 - 1,5x} = x^2 - 3$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 3 \ge 0, \\ x^4 - 3x^2 - 1,5x = (x^2 - 3)^2. \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$x^4 - 3x^2 - 1,5x = x^4 - 6x^2 + 9$
$x^4 - 3x^2 - 1,5x - x^4 + 6x^2 - 9 = 0$
$3x^2 - 1,5x - 9 = 0$

Умножим уравнение на 2:

$6x^2 - 3x - 18 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$2x^2 - x - 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$

Проверим корни на соответствие условию $x^2 - 3 \ge 0$ (или $x^2 \ge 3$).

Для $x_1 = 2$:
$2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Так как $1 > 0$, корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Для $x_2 = -1,5$:
$(-1,5)^2 - 3 = 2,25 - 3 = -0,75$.
Так как $-0,75 < 0$, корень $x_2 = -1,5$ является посторонним.

Ответ: 2

г)

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{x^4 - 3x^2 - 1,5x} = 3 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 3 - x^2 \ge 0, \\ x^4 - 3x^2 - 1,5x = (3 - x^2)^2. \end{cases} $

Решим второе уравнение. Так как $(3 - x^2)^2 = (x^2 - 3)^2$, мы получим то же уравнение, что и в пункте в):

$x^4 - 3x^2 - 1,5x = 9 - 6x^2 + x^4$
$3x^2 - 1,5x - 9 = 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1,5$.

Проверим эти корни на соответствие условию $3 - x^2 \ge 0$ (или $x^2 \le 3$).

Для $x_1 = 2$:
$3 - 2^2 = 3 - 4 = -1$.
Так как $-1 < 0$, корень $x_1 = 2$ является посторонним.

Для $x_2 = -1,5$:
$3 - (-1,5)^2 = 3 - 2,25 = 0,75$.
Так как $0,75 > 0$, корень $x_2 = -1,5$ удовлетворяет условию.

Ответ: -1,5

26.14. a) $(x^2 - 9)(\sqrt{3 - 2x} - x) = 0;$

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{4 - 3x} - x) = 0.$

а) $(x^2 - 9)(\sqrt{3 - 2x} - x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - 2x \ge 0$
$3 \ge 2x$
$x \le 1.5$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

Рассмотрим два случая:

1) Первый множитель равен нулю:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 1.5$).
Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $3 > 1.5$.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \le 1.5$. Следовательно, $x = -3$ является решением уравнения.

2) Второй множитель равен нулю:
$\sqrt{3 - 2x} - x = 0$
$\sqrt{3 - 2x} = x$
Поскольку левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной, то есть $x \ge 0$.
С учетом ОДЗ ($x \le 1.5$) и этого условия, получаем, что решения этого уравнения должны лежать в промежутке $[0; 1.5]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3 - 2x})^2 = x^2$
$3 - 2x = x^2$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:
$x_3 = 1$, $x_4 = -3$
Проверим эти корни на соответствие условию $x \in [0; 1.5]$.
Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 1.5$.
Корень $x_4 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$.

Объединяя найденные решения из обоих случаев, получаем корни исходного уравнения: $x = -3$ и $x = 1$.

Ответ: -3; 1.

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{4 - 3x} - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$4 - 3x \ge 0$
$4 \ge 3x$
$x \le \frac{4}{3}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}]$.

Рассмотрим два случая:

1) Первый множитель равен нулю:
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le \frac{4}{3}$).
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > \frac{4}{3}$.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 \le \frac{4}{3}$. Следовательно, $x = -4$ является решением уравнения.

2) Второй множитель равен нулю:
$\sqrt{4 - 3x} - x = 0$
$\sqrt{4 - 3x} = x$
Левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
С учетом ОДЗ ($x \le \frac{4}{3}$), решения этого уравнения должны удовлетворять условию $x \in [0; \frac{4}{3}]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4 - 3x})^2 = x^2$
$4 - 3x = x^2$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:
$x_3 = 1$, $x_4 = -4$
Проверим эти корни на соответствие условию $x \in [0; \frac{4}{3}]$.
Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le \frac{4}{3}$.
Корень $x_4 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 0$.

Объединяя найденные решения из обоих случаев, получаем корни исходного уравнения: $x = -4$ и $x = 1$.

Ответ: -4; 1.

26.15. а) $ \sin 2x \cdot \sqrt{4 - x^2} = 0; $

б) $ (\cos 2x - 1) \cdot \sqrt{9 - x^2} = 0; $

в) $ (\cos^2 x - \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0; $

г) $ \operatorname{tg} x \cdot \sqrt{16 - x^2} = 0. $

а) $sin(2x) \cdot \sqrt{4 - x^2} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (определен).

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$4 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 4$
$-2 \le x \le 2$
ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Решим уравнение.
Уравнение равносильно совокупности:
$\left[ \begin{gathered} \sqrt{4 - x^2} = 0 \\ \sin(2x) = 0 \end{gathered} \right.$ при условии, что $x \in [-2, 2]$.

Случай 1: $\sqrt{4 - x^2} = 0$
$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $\sin(2x) = 0$
$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
$x = \frac{\pi k}{2}$.

3. Отберем корни, принадлежащие ОДЗ.
Нам нужно найти такие целые $k$, для которых выполняется неравенство:
$-2 \le \frac{\pi k}{2} \le 2$
$-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$
Так как $\pi \approx 3.14$, то $4/\pi \approx 1.27$.
$-1.27 \le k \le 1.27$.
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $-1, 0, 1$.
При $k = -1$, $x_3 = -\frac{\pi}{2}$.
При $k = 0$, $x_4 = 0$.
При $k = 1$, $x_5 = \frac{\pi}{2}$.
Все эти корни входят в ОДЗ.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{-2; -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2}; 2\}$.

б) $(\cos(2x) - 1) \cdot \sqrt{9 - x^2} = 0$

1. ОДЗ:
$9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies -3 \le x \le 3$.
ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

2. Решение уравнения:
$\left[ \begin{gathered} \sqrt{9 - x^2} = 0 \\ \cos(2x) - 1 = 0 \end{gathered} \right.$ при $x \in [-3, 3]$.

Случай 1: $\sqrt{9 - x^2} = 0 \implies 9 - x^2 = 0 \implies x = \pm 3$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $\cos(2x) - 1 = 0 \implies \cos(2x) = 1$.
$2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi k$.

3. Отбор корней, принадлежащих ОДЗ:
$-3 \le \pi k \le 3$
$-\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{3}{\pi}$
Так как $\pi \approx 3.14$, то $3/\pi \approx 0.955$.
$-0.955 \le k \le 0.955$.
Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее неравенству, это $k=0$.
При $k=0$, $x=0$. Этот корень входит в ОДЗ.

Объединяем все найденные корни.
Ответ: $\{-3; 0; 3\}$.

в) $(\cos^2 x - \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$.
Уравнение принимает вид: $\cos(2x) \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0$.

1. ОДЗ:
$1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$.
ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

2. Решение уравнения:
$\left[ \begin{gathered} \sqrt{1 - x^2} = 0 \\ \cos(2x) = 0 \end{gathered} \right.$ при $x \in [-1, 1]$.

Случай 1: $\sqrt{1 - x^2} = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $\cos(2x) = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4}(1 + 2k)$.

3. Отбор корней, принадлежащих ОДЗ:
$-1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \le 1$
Умножим на $\frac{4}{\pi}$: $-\frac{4}{\pi} \le 1 + 2k \le \frac{4}{\pi}$.
$-1.27 \le 1 + 2k \le 1.27$.
$-2.27 \le 2k \le 0.27$.
$-1.135 \le k \le 0.135$.
Целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству: $-1, 0$.
При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$.
При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$.
Оба корня входят в ОДЗ.

Объединяем все найденные корни.
Ответ: $\{-1; -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; 1\}$.

г) $\text{tg } x \cdot \sqrt{16 - x^2} = 0$

1. Найдем ОДЗ.
Во-первых, $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies x \in [-4, 4]$.
Во-вторых, тангенс определен, когда $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения, которые нужно исключить из отрезка $[-4, 4]$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
При $n=-1$, $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$.
Другие значения $x$ (при $n=1, -2, \ldots$) выходят за пределы отрезка $[-4, 4]$.
Итак, ОДЗ: $x \in [-4, 4]$, $x \ne \pm \frac{\pi}{2}$.

2. Решение уравнения:
$\left[ \begin{gathered} \sqrt{16 - x^2} = 0 \\ \text{tg } x = 0 \end{gathered} \right.$ с учетом ОДЗ.

Случай 1: $\sqrt{16 - x^2} = 0 \implies 16 - x^2 = 0 \implies x = \pm 4$.
Оба корня принадлежат ОДЗ (т.к. $\cos(\pm 4) \ne 0$).

Случай 2: $\text{tg } x = 0$.
Это эквивалентно $\sin x = 0$.
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Отбор корней, принадлежащих ОДЗ:
$-4 \le \pi k \le 4$
$-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$
$-1.27 \le k \le 1.27$.
Целые значения $k$: $-1, 0, 1$.
При $k = -1$, $x = -\pi$.
При $k = 0$, $x = 0$.
При $k = 1$, $x = \pi$.
Все эти корни входят в ОДЗ (т.к. $\cos(\pi k) = (-1)^k \ne 0$).

Объединяем все найденные корни.
Ответ: $\{-4; -\pi; 0; \pi; 4\}$.