Страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.55. a) $\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \log_3 \sqrt{x^2 - 2x + 10} = 2;$

б) $(x - 7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1.$

а) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \log_3 \sqrt{x^2 - 2x + 10} = 2$.
Преобразуем выражения под знаком корня, выделив полный квадрат: $x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$.
$x^2 - 2x + 10 = (x^2 - 2x + 1) + 9 = (x - 1)^2 + 9$.
Так как $(x-1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то выражения $(x-1)^2+1 \ge 1$ и $(x-1)^2+9 \ge 9$. Это означает, что подкоренные выражения и выражение под знаком логарифма всегда положительны, поэтому область допустимых значений (ОДЗ) — все действительные числа.
Введем замену переменной. Пусть $t = (x - 1)^2$. По определению, $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $\sqrt{t + 1} + \log_3 \sqrt{t + 9} = 2$.
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, упростим второй член: $\log_3 \sqrt{t + 9} = \log_3 (t + 9)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_3(t + 9)$.
Теперь уравнение выглядит так: $\sqrt{t + 1} + \frac{1}{2} \log_3(t + 9) = 2$.
Рассмотрим левую часть уравнения как функцию от $t$: $f(t) = \sqrt{t + 1} + \frac{1}{2} \log_3(t + 9)$ на области определения $t \ge 0$.
Функция $y_1(t) = \sqrt{t + 1}$ является монотонно возрастающей при $t \ge 0$.
Функция $y_2(t) = \frac{1}{2} \log_3(t + 9)$ также является монотонно возрастающей, так как основание логарифма $3 > 1$.
Сумма двух монотонно возрастающих функций — это монотонно возрастающая функция. Следовательно, $f(t)$ является строго возрастающей.
Это означает, что уравнение $f(t) = 2$ может иметь не более одного решения.
Найдем это решение методом подбора. Проверим значение $t=0$:
$f(0) = \sqrt{0 + 1} + \frac{1}{2} \log_3(0 + 9) = 1 + \frac{1}{2} \log_3(9) = 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, $t = 0$ — единственный корень уравнения.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Ответ: $1$.

б) Решим уравнение $(x - 7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1$.
Преобразуем выражение под корнем и знаком логарифма, выделив полный квадрат: $x^2 - 14x + 74 = (x^2 - 14x + 49) + 25 = (x - 7)^2 + 25$.
Так как $(x - 7)^2 \ge 0$, то $(x - 7)^2 + 25 \ge 25$. Выражение под логарифмом всегда положительно, ОДЗ — все действительные числа.
Введем замену переменной. Пусть $t = (x - 7)^2$. По определению, $t \ge 0$.
Тогда первое слагаемое $(x - 7)^6 = ((x - 7)^2)^3 = t^3$.
Уравнение примет вид: $t^3 + \log_5 \sqrt{t + 25} = 1$.
Упростим логарифм: $\log_5 \sqrt{t + 25} = \log_5 (t + 25)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_5(t + 25)$.
Получим уравнение: $t^3 + \frac{1}{2} \log_5(t + 25) = 1$.
Рассмотрим функцию в левой части: $g(t) = t^3 + \frac{1}{2} \log_5(t + 25)$ при $t \ge 0$.
Функция $y_1(t) = t^3$ является монотонно возрастающей при $t \ge 0$.
Функция $y_2(t) = \frac{1}{2} \log_5(t + 25)$ также является монотонно возрастающей, так как основание логарифма $5 > 1$.
Сумма двух монотонно возрастающих функций — это монотонно возрастающая функция. Следовательно, $g(t)$ является строго возрастающей.
Это означает, что уравнение $g(t) = 1$ имеет не более одного решения.
Найдем это решение методом подбора. Проверим $t = 0$:
$g(0) = 0^3 + \frac{1}{2} \log_5(0 + 25) = 0 + \frac{1}{2} \log_5(25) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
Значит, $t = 0$ — единственный корень уравнения.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$(x - 7)^2 = 0 \implies x - 7 = 0 \implies x = 7$.
Ответ: $7$.

27.56. a) $log_2 (x^2 - 4x + 8) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2};$

б) $log_3 (x^2 + 4x + 13) = \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4}.$

Рассмотрим данное уравнение: $\log_2 (x^2 - 4x + 8) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2}$.

Этот тип уравнений, содержащий разнородные функции (логарифмическую и тригонометрические), часто решается методом оценки. Проанализируем левую и правую части уравнения.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = \log_2 (x^2 - 4x + 8)$.

Аргумент логарифма $g(x) = x^2 - 4x + 8$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, которое достигается в вершине. Координата вершины параболы: $x_v = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Наименьшее значение аргумента логарифма равно $g(2) = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента. Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения равно $\log_2(4) = 2$.

Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство: $\log_2 (x^2 - 4x + 8) \ge 2$.

Правая часть (ПЧ): $h(x) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2}$.

Область значений функций синуса и косинуса — отрезок $[-1, 1]$. Наибольшее значение выражения $\sin \alpha - \cos \beta$ достигается, когда $\sin \alpha = 1$ и $\cos \beta = -1$. Это значение равно $1 - (-1) = 2$.

Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство: $\sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2} \le 2$.

Исходное равенство $\log_2 (x^2 - 4x + 8) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2}$ возможно тогда и только тогда, когда обе его части одновременно равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \log_2 (x^2 - 4x + 8) = 2 \\ \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2} = 2 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Оно выполняется, когда левая часть достигает своего минимума, то есть при $x = 2$.

Проверим, обращается ли правая часть в 2 при $x=2$. Подставим $x=2$ во второе уравнение системы:

$\sin \frac{5\pi \cdot 2}{4} - \cos \frac{\pi \cdot 2}{2} = \sin \frac{5\pi}{2} - \cos \pi = \sin (2\pi + \frac{\pi}{2}) - \cos \pi = \sin \frac{\pi}{2} - \cos \pi = 1 - (-1) = 2$.

Условие выполняется. Так как левая часть равна 2 только при $x=2$, а правая часть при этом значении $x$ также равна 2, то $x=2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x=2$.

Рассмотрим данное уравнение: $\log_3 (x^2 + 4x + 13) = \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4}$.

Применим метод оценки, как и в предыдущем пункте.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = \log_3 (x^2 + 4x + 13)$.

Аргумент логарифма $g(x) = x^2 + 4x + 13$ — это парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координата вершины: $x_v = - \frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Наименьшее значение аргумента: $g(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 13 = 4 - 8 + 13 = 9$.

Функция $\log_3(y)$ является возрастающей, поэтому наименьшее значение левой части равно $\log_3(9) = 2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ имеем: $\log_3 (x^2 + 4x + 13) \ge 2$.

Правая часть (ПЧ): $h(x) = \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4}$.

Наибольшее значение выражения $\cos \alpha - \sin \beta$ достигается, когда $\cos \alpha = 1$ и $\sin \beta = -1$. Это значение равно $1 - (-1) = 2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ имеем: $\cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4} \le 2$.

Равенство в исходном уравнении возможно только в том случае, если обе части равны 2. Составим систему:

$\begin{cases} \log_3 (x^2 + 4x + 13) = 2 \\ \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4} = 2 \end{cases}$

Первое уравнение системы выполняется, когда левая часть достигает своего минимума, то есть при $x = -2$.

Проверим, выполняется ли второе уравнение при $x=-2$. Подставим $x=-2$ в выражение для правой части:

$\cos(\pi (-2)) - \sin(\frac{\pi (-2)}{4}) = \cos(-2\pi) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = \cos(2\pi) + \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2$.

Условие выполняется. Левая часть равна 2 только при $x=-2$, и при этом значении $x$ правая часть также равна 2. Следовательно, $x=-2$ — единственное решение.

Ответ: $x=-2$.

27.57. a) $ln^2 (x^2 - 3x - 9) + \sqrt{x^3 - 8x - 8} = 0;$

б) $arctg^4(x^3 + 2x^2 - x - 2) + \sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3} = 0.$

a) $\ln^2(x^2 - 3x - 9) + \sqrt{x^3 - 8x - 8} = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них.

1. Первое слагаемое $\ln^2(x^2 - 3x - 9)$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $\ln^2(x^2 - 3x - 9) \ge 0$.

2. Второе слагаемое $\sqrt{x^3 - 8x - 8}$ является арифметическим квадратным корнем, значение которого также всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x^3 - 8x - 8} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \ln^2(x^2 - 3x - 9) = 0 \\ \sqrt{x^3 - 8x - 8} = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$\ln^2(x^2 - 3x - 9) = 0 \implies \ln(x^2 - 3x - 9) = 0$

По определению натурального логарифма, это равенство выполняется, когда его аргумент равен 1:

$x^2 - 3x - 9 = 1$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Теперь решим второе уравнение системы:

$\sqrt{x^3 - 8x - 8} = 0 \implies x^3 - 8x - 8 = 0$

Проверим, являются ли найденные ранее значения $x=5$ и $x=-2$ корнями этого кубического уравнения.

При $x = 5$: $5^3 - 8(5) - 8 = 125 - 40 - 8 = 77 \neq 0$. Следовательно, $x=5$ не является решением системы.

При $x = -2$: $(-2)^3 - 8(-2) - 8 = -8 + 16 - 8 = 0$. Следовательно, $x=-2$ является корнем второго уравнения.

Единственным значением, удовлетворяющим обоим уравнениям системы, является $x = -2$. Это и есть решение исходного уравнения. При этом область допустимых значений соблюдается, так как из первого уравнения следует $x^2 - 3x - 9 = 1 > 0$, а из второго $x^3 - 8x - 8 = 0 \ge 0$.

Ответ: -2.

б) $\operatorname{arctg}^4(x^3 + 2x^2 - x - 2) + \sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3} = 0$

Как и в предыдущем пункте, это уравнение является суммой двух неотрицательных слагаемых.

1. Первое слагаемое $\operatorname{arctg}^4(x^3 + 2x^2 - x - 2)$ — это четвёртая степень действительного числа, поэтому $\operatorname{arctg}^4(...) \ge 0$.

2. Второе слагаемое $\sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3}$ — это корень чётной степени, который по определению неотрицателен: $\sqrt[6]{...} \ge 0$.

Сумма этих слагаемых равна нулю только в том случае, если оба они равны нулю. Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} \operatorname{arctg}^4(x^3 + 2x^2 - x - 2) = 0 \\ \sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3} = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$\operatorname{arctg}^4(x^3 + 2x^2 - x - 2) = 0 \implies \operatorname{arctg}(x^3 + 2x^2 - x - 2) = 0$

Арктангенс равен нулю, когда его аргумент равен нулю:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x^2(x+2) - 1(x+2) = 0$

$(x^2 - 1)(x + 2) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -2$.

Теперь решим второе уравнение системы:

$\sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3} = 0 \implies x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3 = 0$

Проверим, какие из найденных корней ($1, -1, -2$) удовлетворяют этому уравнению.

При $x=1$: $1^4 + 1^3 + 2(1)^2 - 1 - 3 = 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0$. Значит, $x=1$ — корень.

При $x=-1$: $(-1)^4 + (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) - 3 = 1 - 1 + 2 + 1 - 3 = 0$. Значит, $x=-1$ — корень.

При $x=-2$: $(-2)^4 + (-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 3 = 16 - 8 + 8 + 2 - 3 = 15 \neq 0$. Значит, $x=-2$ не является корнем.

Общими решениями для обоих уравнений системы являются $x=1$ и $x=-1$. Это и есть решения исходного уравнения. Область допустимых значений соблюдается, так как подкоренное выражение равно нулю.

Ответ: -1; 1.

27.58. а) $0,5x^2 + 34 = 2^3 + \cos \pi x + 6x;$

б) $20x - 100x^2 = 5\sqrt{1 - \operatorname{tg} 2,5\pi x};$

в) $\left|2x^2 - 11x + 5\right| + \operatorname{tg}^2 \pi x = 0;$

г) $7 - \left|2x^2 - 7x + 3\right| = \frac{7}{\cos^2 \pi x}.$

а) $0,5x^2 + 34 = 2^{3+\cos \pi x} + 6x$

Перенесем $6x$ в левую часть уравнения, чтобы разделить переменные:

$0,5x^2 - 6x + 34 = 2^{3+\cos \pi x}$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две отдельные функции.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = 0,5x^2 - 6x + 34$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, которое достигается в вершине.

Координата вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 0,5} = 6$.

Значение функции в вершине: $f(6) = 0,5 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 34 = 0,5 \cdot 36 - 36 + 34 = 18 - 36 + 34 = 16$.

Следовательно, наименьшее значение левой части равно 16, то есть $f(x) \ge 16$.

Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2^{3+\cos \pi x}$. Оценим ее диапазон значений.

Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos \pi x \le 1$.

Тогда для показателя степени: $3 - 1 \le 3 + \cos \pi x \le 3 + 1$, то есть $2 \le 3 + \cos \pi x \le 4$.

Так как функция $y=2^t$ возрастающая, то $2^2 \le 2^{3+\cos \pi x} \le 2^4$, что дает $4 \le g(x) \le 16$.

Следовательно, наибольшее значение правой части равно 16, то есть $g(x) \le 16$.

Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 16.

$f(x) = 16$ при $x = 6$.

$g(x) = 16$ при $2^{3+\cos \pi x} = 16 = 2^4$, что означает $3 + \cos \pi x = 4$, откуда $\cos \pi x = 1$.

Решением уравнения $\cos \pi x = 1$ являются $x$, для которых $\pi x = 2\pi k$, где $k$ - целое число. Отсюда $x=2k$.

Нам нужно найти значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям: $x=6$ и $x=2k$. Подставляя $k=3$, получаем $x=6$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=6$.

Ответ: $6$

б) $20x - 100x^2 = 5^{\sqrt{1-\operatorname{tg} 2,5\pi x}}$

Примечание: В условии, вероятно, опечатка, и имеется в виду показательная функция $5^{\sqrt{...}}$, так как в противном случае уравнение не имеет "хороших" решений. Решим задачу в этой предположении.

Рассмотрим левую и правую части уравнения.

ЛЧ: $f(x) = 20x - 100x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:

$f(x) = -100(x^2 - 0,2x) = -100(x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,1 + 0,1^2 - 0,1^2) = -100((x-0,1)^2 - 0,01) = 1 - 100(x-0,1)^2 = 1 - (10x-1)^2$.

Поскольку $(10x-1)^2 \ge 0$, максимальное значение ЛЧ равно 1 и достигается при $10x-1=0$, то есть при $x=0,1 = \frac{1}{10}$. Итак, $f(x) \le 1$.

ПЧ: $g(x) = 5^{\sqrt{1-\operatorname{tg} 2,5\pi x}}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1-\operatorname{tg} 2,5\pi x \ge 0 \Rightarrow \operatorname{tg} 2,5\pi x \le 1$.

Кроме того, так как $g(x) > 0$, то и $f(x)$ должна быть положительной: $20x - 100x^2 > 0 \Rightarrow 20x(1-5x) > 0$, что выполняется для $x \in (0, \frac{1}{5})$.

Рассмотрим $x=\frac{1}{10}$. Это значение входит в интервал $(0, \frac{1}{5})$.

Подставим $x=\frac{1}{10}$ в обе части уравнения.

ЛЧ: $f(\frac{1}{10}) = 20(\frac{1}{10}) - 100(\frac{1}{10})^2 = 2 - 100(\frac{1}{100}) = 2 - 1 = 1$.

ПЧ: $g(\frac{1}{10}) = 5^{\sqrt{1-\operatorname{tg} (2,5\pi \cdot \frac{1}{10})}} = 5^{\sqrt{1-\operatorname{tg} (\frac{\pi}{4})}} = 5^{\sqrt{1-1}} = 5^0 = 1$.

Поскольку ЛЧ = ПЧ = 1, $x=\frac{1}{10}$ является решением уравнения.

Мы знаем, что ЛЧ $\le 1$. Давайте оценим ПЧ. Из ОДЗ $\operatorname{tg} 2,5\pi x \le 1$. Это означает, что $\sqrt{1-\operatorname{tg} 2,5\pi x} \ge 0$. Так как основание степени $5>1$, то $g(x) = 5^{\sqrt{...}} \ge 5^0 = 1$.

Итак, мы имеем $f(x) \le 1$ и $g(x) \ge 1$. Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только тогда, когда $f(x) = 1$ и $g(x) = 1$. Это происходит при $x=\frac{1}{10}$.

Ответ: $0,1$

в) $|2x^2 - 11x + 5| + \operatorname{tg}^2 \pi x = 0$

Уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $|2x^2 - 11x + 5| \ge 0$ и $\operatorname{tg}^2 \pi x \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |2x^2 - 11x + 5| = 0 \\ \operatorname{tg}^2 \pi x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения: $2x^2 - 11x + 5 = 0$.

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.

$x = \frac{11 \pm 9}{4}$, откуда $x_1 = \frac{11-9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{11+9}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Из второго уравнения: $\operatorname{tg} \pi x = 0$.

Это верно, когда $\pi x = \pi n$, где $n$ - целое число. Следовательно, $x = n$. То есть, $x$ должен быть целым числом.

Теперь нужно найти решения, удовлетворяющие обоим уравнениям. Из корней первого уравнения $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 5$ выберем те, которые являются целыми числами.

$x_1 = \frac{1}{2}$ не является целым числом.

$x_2 = 5$ является целым числом (при $n=5$).

Также необходимо учесть ОДЗ для тангенса: $\cos \pi x \ne 0$, то есть $\pi x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ или $x \ne \frac{1}{2} + k$. Корень $x=5$ удовлетворяет этому условию. Корень $x=1/2$ не входит в ОДЗ.

Единственное решение - $x=5$.

Ответ: $5$

г) $7 - |2x^2 - 7x + 3| = \frac{7}{\cos^2 \pi x}$

Проанализируем левую и правую части уравнения.

ЛЧ: $f(x) = 7 - |2x^2 - 7x + 3|$. Так как модуль любого выражения неотрицателен, $|2x^2 - 7x + 3| \ge 0$, то $-|2x^2 - 7x + 3| \le 0$.

Следовательно, $f(x) = 7 - |2x^2 - 7x + 3| \le 7$.

ПЧ: $g(x) = \frac{7}{\cos^2 \pi x}$. ОДЗ: $\cos^2 \pi x \ne 0$, то есть $\cos \pi x \ne 0$.

Область значений функции $y=\cos^2 \alpha$ на ОДЗ есть $(0, 1]$.

Тогда $\frac{1}{\cos^2 \pi x} \ge 1$, и $g(x) = \frac{7}{\cos^2 \pi x} \ge 7$.

Мы получили, что ЛЧ $\le 7$, а ПЧ $\ge 7$. Равенство возможно только в том случае, если обе части равны 7.

$7 - |2x^2 - 7x + 3| = 7 \Rightarrow |2x^2 - 7x + 3| = 0 \Rightarrow 2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Найдем корни. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

$x = \frac{7 \pm 5}{4}$, откуда $x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$\frac{7}{\cos^2 \pi x} = 7 \Rightarrow \cos^2 \pi x = 1$.

Это верно, если $\cos \pi x = 1$ или $\cos \pi x = -1$, что в совокупности означает, что $x$ должен быть целым числом ($x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$).

Сравним корни первого уравнения с условием целочисленности из второго.

$x_1 = \frac{1}{2}$ не является целым числом. Кроме того, для $x=1/2$ знаменатель $\cos^2(\pi/2)$ обращается в ноль, так что это значение не входит в ОДЗ.

$x_2 = 3$ является целым числом.

Таким образом, единственное решение - $x=3$.

Ответ: $3$

27.59. Найдите нули функции:

а) $y = \ln(3x - 2x^2) - \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$;

б) $y = |x^3 + x^2 - 10x + 8| + \sqrt{\lg (\sin \pi x + x^2 - 15)}$.

a) $y = \ln(3x - 2x^2) - \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$

Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $y=0$:

$\ln(3x - 2x^2) - \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2} = 0$

$\ln(3x - 2x^2) = \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3x - 2x^2 > 0$

$x(3 - 2x) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (0; 1.5)$.

2. Подрадикальное выражение для корня четвертой степени должно быть неотрицательным:

$x^3 + x^2 - 2 \ge 0$

Найдем корни многочлена $P(x) = x^3 + x^2 - 2$. Проверкой делителей свободного члена (-2) находим, что $x=1$ является корнем: $P(1) = 1^3 + 1^2 - 2 = 0$.

Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(x^3 + x^2 - 2) : (x - 1) = x^2 + 2x + 2$

Таким образом, $x^3 + x^2 - 2 = (x-1)(x^2 + 2x + 2)$.

Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$ имеет дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2 + 2x + 2 > 0$ для всех $x$.

Следовательно, знак выражения $(x-1)(x^2 + 2x + 2)$ совпадает со знаком $(x-1)$. Неравенство $x-1 \ge 0$ дает $x \ge 1$.

Объединяя оба условия для ОДЗ, получаем пересечение интервалов $(0; 1.5)$ и $[1; \infty)$:

ОДЗ: $x \in [1; 1.5)$.

Вернемся к уравнению $\ln(3x - 2x^2) = \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$.

Рассмотрим левую часть уравнения $f(x) = \ln(3x - 2x^2)$. На промежутке $[1; 1.5)$ функция $u(x) = 3x - 2x^2$ убывает (вершина параболы в точке $x=0.75$), а функция $\ln(u)$ возрастающая. Следовательно, $f(x)$ является убывающей функцией на ОДЗ.

Рассмотрим правую часть уравнения $h(x) = \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$. На промежутке $[1; 1.5)$ функция $v(x) = x^3 + x^2 - 2$ возрастает (ее производная $v'(x)=3x^2+2x > 0$), а функция $\sqrt[4]{v}$ возрастающая. Следовательно, $h(x)$ является возрастающей функцией на ОДЗ.

Уравнение, в котором одна часть является убывающей функцией, а другая — возрастающей, может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень подбором, проверив значение $x=1$, которое принадлежит ОДЗ.

При $x=1$:

Левая часть: $\ln(3 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) = \ln(1) = 0$.

Правая часть: $\sqrt[4]{1^3 + 1^2 - 2} = \sqrt[4]{0} = 0$.

Поскольку $0 = 0$, $x=1$ является корнем уравнения.

Так как корень единственный, других нулей у функции нет.

Ответ: $1$.

б) $y = |x^3 + x^2 - 10x + 8| + \sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)}$

Нули функции — это решения уравнения $y=0$.

$|x^3 + x^2 - 10x + 8| + \sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)} = 0$

Функция представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, модуль, всегда неотрицательно: $|x^3 + x^2 - 10x + 8| \ge 0$. Второе слагаемое, квадратный корень, также всегда неотрицательно: $\sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |x^3 + x^2 - 10x + 8| = 0 \\ \sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)} = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^3 + x^2 - 10x + 8 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Проверка показывает, что корнями являются $x=1$, $x=2$ и $x=-4$:

При $x=1$: $1^3 + 1^2 - 10(1) + 8 = 1+1-10+8 = 0$.

При $x=2$: $2^3 + 2^2 - 10(2) + 8 = 8+4-20+8 = 0$.

При $x=-4$: $(-4)^3 + (-4)^2 - 10(-4) + 8 = -64+16+40+8 = 0$.

Таким образом, решения первого уравнения: $x_1=1, x_2=2, x_3=-4$.

Теперь решим второе уравнение системы:

$\sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)} = 0$

$\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15) = 0$

По определению десятичного логарифма, его значение равно нулю, если аргумент равен 1:

$\sin(\pi x) + x^2 - 15 = 1$

$\sin(\pi x) + x^2 = 16$

Теперь необходимо проверить, какие из найденных корней первого уравнения ($1, 2, -4$) удовлетворяют второму уравнению.

1. Проверяем $x=1$:

$\sin(\pi \cdot 1) + 1^2 = \sin(\pi) + 1 = 0 + 1 = 1$.

$1 \neq 16$. Корень не подходит.

2. Проверяем $x=2$:

$\sin(\pi \cdot 2) + 2^2 = \sin(2\pi) + 4 = 0 + 4 = 4$.

$4 \neq 16$. Корень не подходит.

3. Проверяем $x=-4$:

$\sin(\pi \cdot (-4)) + (-4)^2 = \sin(-4\pi) + 16 = 0 + 16 = 16$.

$16 = 16$. Корень подходит.

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим уравнениям системы, это $x=-4$. Следовательно, функция имеет единственный нуль.

Ответ: $-4$.

27.60. Решите уравнение $2\cos^2\frac{x^3+x^2-2x}{6} = 7^x + \frac{1}{49} \cdot 7^{2-x}$.

Преобразуем правую часть данного уравнения, используя свойства степеней: $7^x + \frac{1}{49} \cdot 7^{2-x} = 7^x + 7^{-2} \cdot 7^{2-x} = 7^x + 7^{-2+2-x} = 7^x + 7^{-x}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде: $2\cos^2\frac{x^3 + x^2 - 2x}{6} = 7^x + 7^{-x}$.

Далее, оценим множества значений левой и правой частей уравнения.

Оценка левой части (ЛЧ): Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного аргумента $\alpha$, выполняется неравенство $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$. Возведя в квадрат, получим $0 \le \cos^2(\alpha) \le 1$. Применительно к нашему уравнению: $0 \le \cos^2\frac{x^3 + x^2 - 2x}{6} \le 1$. Умножив все части неравенства на 2, найдем область значений левой части: $0 \le 2\cos^2\frac{x^3 + x^2 - 2x}{6} \le 2$. Таким образом, ЛЧ $\le 2$.

Оценка правой части (ПЧ): Рассмотрим выражение $7^x + 7^{-x}$. Так как $7^x > 0$ для любого $x$, мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a = 7^x$ и $b = 7^{-x}$: $7^x + 7^{-x} \ge 2\sqrt{7^x \cdot 7^{-x}} = 2\sqrt{7^{x-x}} = 2\sqrt{7^0} = 2\sqrt{1} = 2$. Таким образом, ПЧ $\ge 2$.

Равенство в исходном уравнении ЛЧ = ПЧ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 2. Это приводит к системе из двух уравнений:

1. $2\cos^2\frac{x^3 + x^2 - 2x}{6} = 2$
2. $7^x + 7^{-x} = 2$

Решим второе уравнение. Равенство в неравенстве Коши $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ достигается только при условии $a=b$. В нашем случае это означает: $7^x = 7^{-x}$. Отсюда следует, что $x = -x$, что равносильно $2x = 0$, и значит $x=0$. Итак, единственное решение второго уравнения — это $x=0$.

Теперь проверим, является ли $x=0$ решением первого уравнения. Для этого подставим $x=0$ в левую часть первого уравнения: $2\cos^2\frac{0^3 + 0^2 - 2 \cdot 0}{6} = 2\cos^2\frac{0}{6} = 2\cos^2(0)$. Поскольку $\cos(0) = 1$, получаем: $2 \cdot (1)^2 = 2$. Равенство $2=2$ является верным.

Следовательно, значение $x=0$ удовлетворяет обоим условиям системы, а значит, является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $0$.

28.1. Придумайте три неравенства, равносильных неравенству:

a) $x^2 - 9 \le 0$;

б) $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$.

а)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сначала найдем множество решений исходного неравенства $x^2 - 9 \le 0$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $(x-3)(x+3) \le 0$.

Корнями соответствующего уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неположительные значения на отрезке между корнями. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-3, 3]$, или $-3 \le x \le 3$.

Теперь придумаем три неравенства, которые имеют такое же множество решений.

1. Перенесем слагаемое $-9$ в правую часть неравенства: $x^2 \le 9$. Это неравенство является результатом равносильного преобразования. Его решение также $|x| \le 3$, что соответствует промежутку $[-3, 3]$.

2. Умножим обе части исходного неравенства на отрицательное число $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $-(x^2 - 9) \ge 0$, что можно записать как $9 - x^2 \ge 0$. Это неравенство также имеет решение $[-3, 3]$.

3. Неравенство $|x| \le 3$ по определению модуля равносильно двойному неравенству $-3 \le x \le 3$, что и является решением исходного неравенства.

Ответ: например, $x^2 \le 9$; $9 - x^2 \ge 0$; $|x| \le 3$.

б)

Найдем множество решений неравенства $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$. Для этого перенесем все члены в одну сторону и приведем их к общему знаменателю.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$

$\frac{3 - x}{3x} < 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Определим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $3-x=0 \implies x=3$ и $3x=0 \implies x=0$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, \infty)$.

Определим знак дроби $\frac{3-x}{3x}$ в каждом из интервалов:
- при $x < 0$ (например, $x=-1$), имеем $\frac{3-(-1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$. Интервал является частью решения.
- при $0 < x < 3$ (например, $x=1$), имеем $\frac{3-1}{3(1)} = \frac{2}{3} > 0$. Интервал не является частью решения.
- при $x > 3$ (например, $x=4$), имеем $\frac{3-4}{3(4)} = \frac{-1}{12} < 0$. Интервал является частью решения.

Таким образом, множество решений исходного неравенства есть объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Придумаем три равносильных неравенства.

1. Неравенство, полученное в процессе решения путем переноса члена в левую часть: $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$. Оно очевидно равносильно исходному.

2. Неравенство, полученное после приведения к общему знаменателю: $\frac{3-x}{3x} < 0$. Умножив его на положительное число 3, получим более простое равносильное неравенство: $\frac{3-x}{x} < 0$.

3. Умножим неравенство $\frac{3-x}{x} < 0$ на -1 и изменим знак на противоположный: $\frac{-(3-x)}{x} > 0$, что равносильно $\frac{x-3}{x} > 0$. Это неравенство имеет то же самое множество решений.

Ответ: например, $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$; $\frac{3-x}{x} < 0$; $\frac{x-3}{x} > 0$.

28.2. Придумайте три неравенства-следствия данного неравенства:

а) $log_{0,2} x < 0;$

б) $10^{x-3} < 1.$

а) Рассмотрим неравенство $ \log_{0.2} x < 0 $.

Сначала решим данное неравенство, чтобы найти его множество решений.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $ x > 0 $.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,2: $ 0 = \log_{0.2} 1 $.
3. Неравенство принимает вид: $ \log_{0.2} x < \log_{0.2} 1 $.
4. Так как основание логарифма $ 0.2 $ находится в интервале $ (0, 1) $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $ x > 1 $.
5. Учитывая ОДЗ ($ x > 0 $), получаем, что решение исходного неравенства есть интервал $ (1, \infty) $.

Неравенство-следствие — это такое неравенство, которому удовлетворяет любое решение исходного неравенства. Это означает, что множество решений исходного неравенства $ (1, \infty) $ должно являться подмножеством множества решений неравенства-следствия. Приведем три таких примера.

1. Неравенство $ x > 0 $. Его решением является интервал $ (0, \infty) $. Так как $ (1, \infty) $ является подмножеством $ (0, \infty) $, то $ x > 0 $ является следствием исходного неравенства. Это неравенство совпадает с ОДЗ исходного.

2. Неравенство $ x^2 > 1 $. Решением этого неравенства является объединение интервалов $ (-\infty, -1) \cup (1, \infty) $. Множество решений $ (1, \infty) $ полностью содержится в этом объединении, следовательно, $ x^2 > 1 $ является неравенством-следствием.

3. Неравенство $ x - 1 > -10 $. Решением этого линейного неравенства является $ x > -9 $, или интервал $ (-9, \infty) $. Поскольку $ (1, \infty) \subset (-9, \infty) $, данное неравенство также является следствием.

Ответ: например, $ x > 0 $; $ x^2 > 1 $; $ x > -9 $.

б) Рассмотрим неравенство $ 10^{x-3} < 1 $.

Сначала решим данное показательное неравенство.
1. Представим число 1 в виде степени с основанием 10: $ 1 = 10^0 $.
2. Неравенство принимает вид: $ 10^{x-3} < 10^0 $.
3. Так как основание степени $ 10 > 1 $, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей знак неравенства сохраняется: $ x - 3 < 0 $.
4. Решая это линейное неравенство, получаем $ x < 3 $. Множество решений исходного неравенства — интервал $ (-\infty, 3) $.

Теперь придумаем три неравенства-следствия. Их множество решений должно содержать интервал $ (-\infty, 3) $.

1. Неравенство $ x < 4 $. Его решением является интервал $ (-\infty, 4) $. Так как $ (-\infty, 3) \subset (-\infty, 4) $, это неравенство является следствием исходного.

2. Неравенство $ (x-3)(x-5) > 0 $. Решением этого квадратного неравенства, решенного методом интервалов, является объединение $ (-\infty, 3) \cup (5, \infty) $. Множество решений исходного неравенства $ (-\infty, 3) $ является частью этого множества, значит, это неравенство-следствие.

3. Неравенство $ x^2+5 > 0 $. Это неравенство выполняется для любого действительного числа $ x $, так как $ x^2 \ge 0 $ для всех $ x $, и, следовательно, $ x^2+5 \ge 5 > 0 $. Множеством решений является вся числовая прямая $ (-\infty, \infty) $. Интервал $ (-\infty, 3) $ является подмножеством $ (-\infty, \infty) $, поэтому это также неравенство-следствие.

Ответ: например, $ x < 4 $; $ (x-3)(x-5) > 0 $; $ x^2+5 > 0 $.

28.3. Являются ли равносильными неравенства:

а) $ \sin x + 2 \log_3 x > 20 $ и $ \sin x > 20 - 2 \log_3 x; $

б) $ \frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 1 $ и $ \sin x \geq \sqrt{x^2 + 1}; $

в) $ 13 - 13^{x^2 - 4} \geq 10^x $ и $ 13 \geq 10^x + 13^{x^2 - 4}; $

г) $ 10^{4x - 1} \cdot \lg (x^2 - 4) < 0 $ и $ \lg (x^2 - 4) < 0? $

а) Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сравним неравенства $ \sin x + 2 \log_3 x > 20 $ и $ \sin x > 20 - 2 \log_3 x $. Второе неравенство можно получить из первого, перенеся слагаемое $ 2 \log_3 x $ в правую часть с противоположным знаком. Эта операция (сложение или вычитание одного и того же выражения из обеих частей неравенства) является равносильным преобразованием и не изменяет множество решений. Область допустимых значений (ОДЗ) для обоих неравенств определяется наличием логарифма $ \log_3 x $, что требует выполнения условия $ x > 0 $. Так как ОДЗ у неравенств совпадает и одно получено из другого равносильным преобразованием, они являются равносильными. Ответ: да, являются.

б) Сравним неравенства $ \frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \ge 1 $ и $ \sin x \ge \sqrt{x^2 + 1} $. Второе неравенство можно получить из первого умножением обеих частей на выражение $ \sqrt{x^2 + 1} $. Такое преобразование является равносильным тогда и только тогда, когда выражение, на которое мы умножаем, строго положительно. Исследуем знак выражения $ \sqrt{x^2 + 1} $. Поскольку $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $, то $ x^2 + 1 \ge 1 $, и, следовательно, $ \sqrt{x^2 + 1} \ge 1 $. Таким образом, множитель $ \sqrt{x^2 + 1} $ всегда строго положителен. Значит, умножение на него является равносильным преобразованием. ОДЗ для первого неравенства: знаменатель $ \sqrt{x^2 + 1} $ не должен быть равен нулю, что выполняется всегда ($ \sqrt{x^2+1} \ge 1 $). ОДЗ для второго неравенства также все действительные числа. Так как ОДЗ обоих неравенств совпадают ($ x \in \mathbb{R} $) и преобразование равносильно, то и неравенства равносильны. Отметим, что оба неравенства не имеют решений, поскольку $ \sin x \le 1 $, а $ \sqrt{x^2+1} \ge 1 $, и равенство $ \sin x = \sqrt{x^2+1} = 1 $ невозможно (оно бы требовало одновременного выполнения условий $ x=0 $ и $ \sin x = 1 $, что неверно, так как $ \sin 0 = 0 $). Множества решений обоих неравенств пусты ($ \emptyset $), что также подтверждает их равносильность. Ответ: да, являются.

в) Сравним неравенства $ 13 - 13^{x^2-4} \ge 10^x $ и $ 13 \ge 10^x + 13^{x^2-4} $. Второе неравенство получается из первого путем переноса слагаемого $ -13^{x^2-4} $ из левой части в правую, что равносильно прибавлению выражения $ 13^{x^2-4} $ к обеим частям неравенства. Это преобразование является равносильным. Показательные функции $ 10^x $ и $ 13^{x^2-4} $ определены для всех действительных значений $ x $. Следовательно, ОДЗ для обоих неравенств — это множество всех действительных чисел ($ x \in \mathbb{R} $). Поскольку одно неравенство получено из другого равносильным преобразованием и их ОДЗ совпадают, эти неравенства равносильны. Ответ: да, являются.

г) Сравним неравенства $ 10^{4x-1} \cdot \lg(x^2 - 4) < 0 $ и $ \lg(x^2 - 4) < 0 $. Второе неравенство можно получить из первого, разделив обе части на множитель $ 10^{4x-1} $. Деление неравенства на выражение является равносильным преобразованием, если это выражение сохраняет знак, и в данном случае, если оно строго положительно. Показательная функция с основанием 10 ($ 10 > 1 $) всегда принимает строго положительные значения, то есть $ 10^{4x-1} > 0 $ для любого действительного $ x $. Следовательно, деление на $ 10^{4x-1} $ — это равносильное преобразование, сохраняющее знак неравенства. ОДЗ обоих неравенств определяется наличием десятичного логарифма $ \lg(x^2 - 4) $, аргумент которого должен быть строго положительным: $ x^2 - 4 > 0 $, что равносильно $ x^2 > 4 $, или $ |x| > 2 $. Таким образом, ОДЗ для обоих неравенств совпадает: $ x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $. Так как ОДЗ совпадают и преобразование является равносильным, данные неравенства равносильны. Ответ: да, являются.