Номер 27.60, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.60, страница 173.

27.60. Решите уравнение $2\cos^2\frac{x^3+x^2-2x}{6} = 7^x + \frac{1}{49} \cdot 7^{2-x}$.

Преобразуем правую часть данного уравнения, используя свойства степеней: $7^x + \frac{1}{49} \cdot 7^{2-x} = 7^x + 7^{-2} \cdot 7^{2-x} = 7^x + 7^{-2+2-x} = 7^x + 7^{-x}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде: $2\cos^2\frac{x^3 + x^2 - 2x}{6} = 7^x + 7^{-x}$.

Далее, оценим множества значений левой и правой частей уравнения.

Оценка левой части (ЛЧ): Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного аргумента $\alpha$, выполняется неравенство $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$. Возведя в квадрат, получим $0 \le \cos^2(\alpha) \le 1$. Применительно к нашему уравнению: $0 \le \cos^2\frac{x^3 + x^2 - 2x}{6} \le 1$. Умножив все части неравенства на 2, найдем область значений левой части: $0 \le 2\cos^2\frac{x^3 + x^2 - 2x}{6} \le 2$. Таким образом, ЛЧ $\le 2$.

Оценка правой части (ПЧ): Рассмотрим выражение $7^x + 7^{-x}$. Так как $7^x > 0$ для любого $x$, мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a = 7^x$ и $b = 7^{-x}$: $7^x + 7^{-x} \ge 2\sqrt{7^x \cdot 7^{-x}} = 2\sqrt{7^{x-x}} = 2\sqrt{7^0} = 2\sqrt{1} = 2$. Таким образом, ПЧ $\ge 2$.

Равенство в исходном уравнении ЛЧ = ПЧ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 2. Это приводит к системе из двух уравнений:

1. $2\cos^2\frac{x^3 + x^2 - 2x}{6} = 2$
2. $7^x + 7^{-x} = 2$

Решим второе уравнение. Равенство в неравенстве Коши $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ достигается только при условии $a=b$. В нашем случае это означает: $7^x = 7^{-x}$. Отсюда следует, что $x = -x$, что равносильно $2x = 0$, и значит $x=0$. Итак, единственное решение второго уравнения — это $x=0$.

Теперь проверим, является ли $x=0$ решением первого уравнения. Для этого подставим $x=0$ в левую часть первого уравнения: $2\cos^2\frac{0^3 + 0^2 - 2 \cdot 0}{6} = 2\cos^2\frac{0}{6} = 2\cos^2(0)$. Поскольку $\cos(0) = 1$, получаем: $2 \cdot (1)^2 = 2$. Равенство $2=2$ является верным.

Следовательно, значение $x=0$ удовлетворяет обоим условиям системы, а значит, является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $0$.