Номер 27.57, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.57, страница 173.

27.57. a) $ln^2 (x^2 - 3x - 9) + \sqrt{x^3 - 8x - 8} = 0;$

б) $arctg^4(x^3 + 2x^2 - x - 2) + \sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3} = 0.$

a) $\ln^2(x^2 - 3x - 9) + \sqrt{x^3 - 8x - 8} = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них.

1. Первое слагаемое $\ln^2(x^2 - 3x - 9)$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $\ln^2(x^2 - 3x - 9) \ge 0$.

2. Второе слагаемое $\sqrt{x^3 - 8x - 8}$ является арифметическим квадратным корнем, значение которого также всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x^3 - 8x - 8} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \ln^2(x^2 - 3x - 9) = 0 \\ \sqrt{x^3 - 8x - 8} = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$\ln^2(x^2 - 3x - 9) = 0 \implies \ln(x^2 - 3x - 9) = 0$

По определению натурального логарифма, это равенство выполняется, когда его аргумент равен 1:

$x^2 - 3x - 9 = 1$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Теперь решим второе уравнение системы:

$\sqrt{x^3 - 8x - 8} = 0 \implies x^3 - 8x - 8 = 0$

Проверим, являются ли найденные ранее значения $x=5$ и $x=-2$ корнями этого кубического уравнения.

При $x = 5$: $5^3 - 8(5) - 8 = 125 - 40 - 8 = 77 \neq 0$. Следовательно, $x=5$ не является решением системы.

При $x = -2$: $(-2)^3 - 8(-2) - 8 = -8 + 16 - 8 = 0$. Следовательно, $x=-2$ является корнем второго уравнения.

Единственным значением, удовлетворяющим обоим уравнениям системы, является $x = -2$. Это и есть решение исходного уравнения. При этом область допустимых значений соблюдается, так как из первого уравнения следует $x^2 - 3x - 9 = 1 > 0$, а из второго $x^3 - 8x - 8 = 0 \ge 0$.

Ответ: -2.

б) $\operatorname{arctg}^4(x^3 + 2x^2 - x - 2) + \sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3} = 0$

Как и в предыдущем пункте, это уравнение является суммой двух неотрицательных слагаемых.

1. Первое слагаемое $\operatorname{arctg}^4(x^3 + 2x^2 - x - 2)$ — это четвёртая степень действительного числа, поэтому $\operatorname{arctg}^4(...) \ge 0$.

2. Второе слагаемое $\sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3}$ — это корень чётной степени, который по определению неотрицателен: $\sqrt[6]{...} \ge 0$.

Сумма этих слагаемых равна нулю только в том случае, если оба они равны нулю. Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} \operatorname{arctg}^4(x^3 + 2x^2 - x - 2) = 0 \\ \sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3} = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$\operatorname{arctg}^4(x^3 + 2x^2 - x - 2) = 0 \implies \operatorname{arctg}(x^3 + 2x^2 - x - 2) = 0$

Арктангенс равен нулю, когда его аргумент равен нулю:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x^2(x+2) - 1(x+2) = 0$

$(x^2 - 1)(x + 2) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -2$.

Теперь решим второе уравнение системы:

$\sqrt[6]{x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3} = 0 \implies x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 3 = 0$

Проверим, какие из найденных корней ($1, -1, -2$) удовлетворяют этому уравнению.

При $x=1$: $1^4 + 1^3 + 2(1)^2 - 1 - 3 = 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0$. Значит, $x=1$ — корень.

При $x=-1$: $(-1)^4 + (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) - 3 = 1 - 1 + 2 + 1 - 3 = 0$. Значит, $x=-1$ — корень.

При $x=-2$: $(-2)^4 + (-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 3 = 16 - 8 + 8 + 2 - 3 = 15 \neq 0$. Значит, $x=-2$ не является корнем.

Общими решениями для обоих уравнений системы являются $x=1$ и $x=-1$. Это и есть решения исходного уравнения. Область допустимых значений соблюдается, так как подкоренное выражение равно нулю.

Ответ: -1; 1.