Номер 28.4, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.4, страница 174.

28.4. Данное неравенство замените более простым равносильным неравенством:

а) $lg (x^2 + 9) > lg (2x^2 + 4);$

б) $1,4^{7x - 9} \le 1,4^{x^2 - 6};$

в) $\sqrt[5]{4x - 9} \ge \sqrt[5]{7x + 9};$

г) $log_{0,2} (16x^2 + 8) < log_{0,2} (x^2 + 1).$

а) Исходное неравенство: $ \lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4) $.
Логарифмическая функция с основанием $10$ ($y = \lg t$) является возрастающей, так как ее основание $10 > 1$. Неравенство вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $a > 1$ равносильно системе неравенств:$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $В данном случае $f(x) = x^2 + 9$ и $g(x) = 2x^2 + 4$.Проверим условие $g(x) > 0$. Выражение $2x^2 + 4$ всегда положительно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $2x^2 \ge 0$, и $2x^2 + 4 \ge 4 > 0$.Так как область определения исходного неравенства — все действительные числа, оно равносильно более простому неравенству $f(x) > g(x)$.
Ответ: $x^2 + 9 > 2x^2 + 4$.

б) Исходное неравенство: $ 1,4^{7x-9} \le 1,4^{x^2-6} $.
Показательная функция с основанием $a = 1,4$ ($y = 1,4^t$) является возрастающей, так как основание $1,4 > 1$. Неравенство вида $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ при $a > 1$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства.
Ответ: $7x - 9 \le x^2 - 6$.

в) Исходное неравенство: $ \sqrt[5]{4x - 9} \ge \sqrt[5]{7x + 9} $.
Функция извлечения корня нечетной степени ($y = \sqrt[5]{t}$) является возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому неравенство вида $\sqrt[n]{f(x)} \ge \sqrt[n]{g(x)}$ при нечетном $n$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$. Для упрощения можно возвести обе части неравенства в пятую степень, при этом знак неравенства сохранится.
Ответ: $4x - 9 \ge 7x + 9$.

г) Исходное неравенство: $ \log_{0,2}(16x^2 + 8) < \log_{0,2}(x^2 + 1) $.
Логарифмическая функция с основанием $a = 0,2$ ($y = \log_{0,2} t$) является убывающей, так как основание $0 < 0,2 < 1$. Неравенство вида $\log_a f(x) < \log_a g(x)$ при $0 < a < 1$ равносильно системе неравенств:$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $В данном случае $f(x) = 16x^2 + 8$ и $g(x) = x^2 + 1$.Проверим условие $g(x) > 0$. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, и $x^2 + 1 \ge 1 > 0$.Поскольку область определения исходного неравенства — все действительные числа, оно равносильно более простому неравенству $f(x) > g(x)$ (знак неравенства меняется на противоположный).
Ответ: $16x^2 + 8 > x^2 + 1$.