Страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.4. Данное неравенство замените более простым равносильным неравенством:

а) $lg (x^2 + 9) > lg (2x^2 + 4);$

б) $1,4^{7x - 9} \le 1,4^{x^2 - 6};$

в) $\sqrt[5]{4x - 9} \ge \sqrt[5]{7x + 9};$

г) $log_{0,2} (16x^2 + 8) < log_{0,2} (x^2 + 1).$

а) Исходное неравенство: $ \lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4) $.
Логарифмическая функция с основанием $10$ ($y = \lg t$) является возрастающей, так как ее основание $10 > 1$. Неравенство вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $a > 1$ равносильно системе неравенств:$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $В данном случае $f(x) = x^2 + 9$ и $g(x) = 2x^2 + 4$.Проверим условие $g(x) > 0$. Выражение $2x^2 + 4$ всегда положительно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $2x^2 \ge 0$, и $2x^2 + 4 \ge 4 > 0$.Так как область определения исходного неравенства — все действительные числа, оно равносильно более простому неравенству $f(x) > g(x)$.
Ответ: $x^2 + 9 > 2x^2 + 4$.

б) Исходное неравенство: $ 1,4^{7x-9} \le 1,4^{x^2-6} $.
Показательная функция с основанием $a = 1,4$ ($y = 1,4^t$) является возрастающей, так как основание $1,4 > 1$. Неравенство вида $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ при $a > 1$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства.
Ответ: $7x - 9 \le x^2 - 6$.

в) Исходное неравенство: $ \sqrt[5]{4x - 9} \ge \sqrt[5]{7x + 9} $.
Функция извлечения корня нечетной степени ($y = \sqrt[5]{t}$) является возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому неравенство вида $\sqrt[n]{f(x)} \ge \sqrt[n]{g(x)}$ при нечетном $n$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$. Для упрощения можно возвести обе части неравенства в пятую степень, при этом знак неравенства сохранится.
Ответ: $4x - 9 \ge 7x + 9$.

г) Исходное неравенство: $ \log_{0,2}(16x^2 + 8) < \log_{0,2}(x^2 + 1) $.
Логарифмическая функция с основанием $a = 0,2$ ($y = \log_{0,2} t$) является убывающей, так как основание $0 < 0,2 < 1$. Неравенство вида $\log_a f(x) < \log_a g(x)$ при $0 < a < 1$ равносильно системе неравенств:$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $В данном случае $f(x) = 16x^2 + 8$ и $g(x) = x^2 + 1$.Проверим условие $g(x) > 0$. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, и $x^2 + 1 \ge 1 > 0$.Поскольку область определения исходного неравенства — все действительные числа, оно равносильно более простому неравенству $f(x) > g(x)$ (знак неравенства меняется на противоположный).
Ответ: $16x^2 + 8 > x^2 + 1$.

Решите неравенство, применяя теоремы о равносильности неравенств:

28.5. a) $log_{14} (x - 1) \le log_{14} (2x + 3)$;

б) $log_{0,3} (2x + 1) < log_{0,3} (x - 3)$.

а)

Дано неравенство $log_{14}(x - 1) \le log_{14}(2x + 3)$.

Это логарифмическое неравенство вида $log_a f(x) \le log_a g(x)$. Так как основание логарифма $a = 14 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно системе, в которой знак неравенства для подлогарифмических выражений сохраняется. Также необходимо учесть область определения логарифмов, потребовав, чтобы оба подлогарифмических выражения были положительными.

Перейдем к равносильной системе неравенств: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ x - 1 \le 2x + 3 \end{cases} $

Заметим, что из неравенства $x - 1 \le 2x + 3$ и условия $x - 1 > 0$ автоматически следует, что $2x + 3 > 0$. Поэтому систему можно упростить: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \le 2x + 3 \end{cases} $

Решим полученную систему: $ \begin{cases} x > 1 \\ -1 - 3 \le 2x - x \end{cases} $ $ \begin{cases} x > 1 \\ -4 \le x \end{cases} $

Найдем пересечение решений: нужно, чтобы $x$ был одновременно больше $1$ и больше или равен $-4$. Общим решением является промежуток $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б)

Дано неравенство $log_{0,3}(2x + 1) < log_{0,3}(x - 3)$.

Это логарифмическое неравенство вида $log_a f(x) < log_a g(x)$. Так как основание логарифма $a = 0,3$, и $0 < 0,3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть область определения.

Неравенство равносильно системе: $ \begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ 2x + 1 > x - 3 \end{cases} $

Из неравенства $2x + 1 > x - 3$ и условия $x - 3 > 0$ автоматически следует, что $2x + 1 > 0$. Поэтому систему можно упростить: $ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ 2x + 1 > x - 3 \end{cases} $

Решим полученную систему: $ \begin{cases} x > 3 \\ 2x - x > -3 - 1 \end{cases} $ $ \begin{cases} x > 3 \\ x > -4 \end{cases} $

Найдем пересечение решений: нужно, чтобы $x$ был одновременно больше $3$ и больше $-4$. Общим решением является промежуток $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

○28.6.

a) $log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2 - 5x) \ge log_{\frac{1}{\pi}}(2x - 3);$

б) $lg(5x^2 - 15x) \le lg(2x - 6).$

а) $\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2 - 5x) \ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x - 3)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $0 < \frac{1}{\pi} < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Также необходимо учесть, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными (область допустимых значений, ОДЗ).

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 - 5x > 0 \\ 2x - 3 > 0 \\ 2x^2 - 5x \le 2x - 3 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим $2x - 3 > 0$:

$2x > 3$

$x > 1.5$

2. Решим $2x^2 - 5x > 0$:

$x(2x - 5) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(2x-5)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=2.5$. Графиком функции $y=2x^2-5x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

$x \in (-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$

3. Решим $2x^2 - 5x \le 2x - 3$:

$2x^2 - 7x + 3 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$, $x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Графиком функции $y=2x^2-7x+3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

$x \in [0.5, 3]$

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Для этого найдем общую область для интервалов: $(1.5, +\infty)$, $(-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$ и $[0.5, 3]$.
Пересечение первых двух условий ($x > 1.5$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$) дает нам интервал $(2.5, +\infty)$.
Далее, найдем пересечение этого результата с решением третьего неравенства: $(2.5, +\infty) \cap [0.5, 3]$.
Общим решением является интервал $(2.5, 3]$.

Ответ: $(2.5, 3]$.

б) $\lg(5x^2 - 15x) \le \lg(2x - 6)$

Основание десятичного логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе, учитывающей ОДЗ (аргументы должны быть положительными).

$\begin{cases} 5x^2 - 15x > 0 \\ 2x - 6 > 0 \\ 5x^2 - 15x \le 2x - 6 \end{cases}$

Заметим, что если выполняются условия $5x^2 - 15x > 0$ и $5x^2 - 15x \le 2x - 6$, то из этого автоматически следует, что $2x - 6 > 0$. Поэтому систему можно упростить, оставив только первое и третье неравенства:

$\begin{cases} 5x^2 - 15x > 0 \\ 5x^2 - 15x \le 2x - 6 \end{cases}$

Решим каждое неравенство.

1. Решим $5x^2 - 15x > 0$:

$5x(x - 3) > 0$

Корни уравнения $5x(x - 3) = 0$ равны $x_1=0$ и $x_2=3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ вне интервала между корнями.

$x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$

2. Решим $5x^2 - 15x \le 2x - 6$:

$5x^2 - 17x + 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 17x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 - 120 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{17 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0.4$, $x_2 = \frac{17 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

$x \in [0.4, 3]$

Теперь найдем пересечение решений системы: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$ и $x \in [0.4, 3]$.
Множество $(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$ не имеет общих точек с отрезком $[0.4, 3]$. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Ответ: решений нет (или $\emptyset$).

28.7. a) $2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128};$

б) $0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \le 1.$

Решим показательное неравенство $2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128}$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$x+4 \ge 0$
$x \ge -4$.

Далее, упростим правую часть неравенства, представив её как степень с основанием 2.
$128 = 2^7$, поэтому $\sqrt{128} = \sqrt{2^7} = 2^{\frac{7}{2}}$.
Тогда правая часть равна:
$\frac{1}{2}\sqrt{128} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{7}{2}} = 2^{-1+\frac{7}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$.

Теперь неравенство имеет вид:
$2^{\sqrt{x+4}} \ge 2^{\frac{5}{2}}$.

Основание степени $2$ больше единицы ($2 > 1$), поэтому показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:
$\sqrt{x+4} \ge \frac{5}{2}$.

Обе части этого иррационального неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x+4})^2 \ge (\frac{5}{2})^2$
$x+4 \ge \frac{25}{4}$
$x \ge \frac{25}{4} - 4$
$x \ge \frac{25}{4} - \frac{16}{4}$
$x \ge \frac{9}{4}$.

Сравним полученное решение с ОДЗ: $x \ge \frac{9}{4}$ и $x \ge -4$. Так как $\frac{9}{4} > -4$, то итоговое решение совпадает с $x \ge \frac{9}{4}$.

Ответ: $x \in [\frac{9}{4}, +\infty)$.

Решим показательное неравенство $0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \le 1$.

Представим обе части неравенства как степени с одинаковым основанием. В качестве основания выберем $0,5$.
$0,5 = \frac{1}{2}$
$1 = (0,5)^0$.
Неравенство принимает вид:
$0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \le 0,5^0$.

Основание степени $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y=(0,5)^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$.

Отсюда получаем простое тригонометрическое неравенство:
$\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы решить это неравенство, рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем значения $x$, при которых $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Эти значения соответствуют углам $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Нам нужны все углы, для которых значение синуса (ордината точки на окружности) больше или равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. На единичной окружности это дуга, которая начинается в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{3}$, и идет против часовой стрелки до точки, соответствующей углу $\frac{4\pi}{3}$.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Решите систему неравенств:

28.8. a) $\begin{cases} 3x - 11 > 2x + 13, \\ 17x + 9 < 9x + 99; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 2 \le 4x + 24, \\ 2x - 1 \ge x + 7. \end{cases}$

а)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3x - 11 > 2x + 13$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 2x > 13 + 11$

$x > 24$

2. Решим второе неравенство:

$17x + 9 < 9x + 99$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$17x - 9x < 99 - 9$

$8x < 90$

Разделим обе части на 8:

$x < \frac{90}{8}$

$x < \frac{45}{4}$

$x < 11.25$

3. Найдем общее решение системы.

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x > 24 \\ x < 11.25 \end{cases}$

Необходимо найти значения $x$, которые одновременно больше 24 и меньше 11.25. Таких значений не существует, так как множество решений первого неравенства $(24; +\infty)$ и множество решений второго неравенства $(-\infty; 11.25)$ не пересекаются.

Ответ: решений нет.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$6x + 2 \le 4x + 24$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$6x - 4x \le 24 - 2$

$2x \le 22$

Разделим обе части на 2:

$x \le 11$

2. Решим второе неравенство:

$2x - 1 \ge x + 7$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$2x - x \ge 7 + 1$

$x \ge 8$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили систему:

$\begin{cases} x \le 11 \\ x \ge 8 \end{cases}$

Общим решением является множество всех чисел, которые больше или равны 8 и одновременно меньше или равны 11. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$8 \le x \le 11$

Это соответствует числовому промежутку $[8; 11]$.

Ответ: $x \in [8; 11]$.

28.9. a) $ \begin{cases} (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12, \\ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x, \\ 3x - 16 \le x. \end{cases} $

а)
Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12, \\ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12 $.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$ ((x + 1) - (x - 1))((x + 1) + (x - 1)) \ge 12 $
$ (x + 1 - x + 1)(x + 1 + x - 1) \ge 12 $
$ (2)(2x) \ge 12 $
$ 4x \ge 12 $
$ x \ge 3 $

2. Решим второе неравенство: $ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9 $.
Применим формулу разности квадратов и формулу квадрата суммы:
$ (x^2 - 16) - (x^2 + 4x + 4) < 9 $
$ x^2 - 16 - x^2 - 4x - 4 < 9 $
$ -4x - 20 < 9 $
$ -4x < 29 $
$ x > -\frac{29}{4} $
$ x > -7.25 $

3. Найдем пересечение решений. Мы имеем систему:
$ \begin{cases} x \ge 3, \\ x > -7.25. \end{cases} $
Пересечением промежутков $x \in [3, +\infty)$ и $x \in (-7.25, +\infty)$ является промежуток $[3, +\infty)$.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

б)
Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x, \\ 3x - 16 \le x. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x $.
Выражение $ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x$ и $b=2$.
$ (x^3 - 2^3) - x^3 < 8x $
$ x^3 - 8 - x^3 < 8x $
$ -8 < 8x $
$ -1 < x $ или $ x > -1 $

2. Решим второе неравенство: $ 3x - 16 \le x $.
$ 3x - x \le 16 $
$ 2x \le 16 $
$ x \le 8 $

3. Найдем пересечение решений. Мы имеем систему:
$ \begin{cases} x > -1, \\ x \le 8. \end{cases} $
Пересечением промежутков $x \in (-1, +\infty)$ и $x \in (-\infty, 8]$ является промежуток $(-1, 8]$.

Ответ: $x \in (-1, 8]$.

28.10. a) $\begin{cases} 7 + 3x < 5x + 3, \\ 7x - 15 < 4x - 3, \\ 11x - 32 > 13x - 42; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 29 + 25x > 2(13x + 9), \\ 2x > 5, \\ 3(5x + 3) < 4(4x + 3). \end{cases}$

а) Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$7 + 3x < 5x + 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$7 - 3 < 5x - 3x$

$4 < 2x$

Разделим обе части на 2:

$2 < x$ или $x > 2$

2. Решим второе неравенство:

$7x - 15 < 4x - 3$

$7x - 4x < 15 - 3$

$3x < 12$

Разделим обе части на 3:

$x < 4$

3. Решим третье неравенство:

$11x - 32 > 13x - 42$

$42 - 32 > 13x - 11x$

$10 > 2x$

Разделим обе части на 2:

$5 > x$ или $x < 5$

Теперь найдем общее решение для системы. Мы получили три условия:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 2 \\ x < 4 \\ x < 5 \end{array} \right.$

Пересечение условий $x < 4$ и $x < 5$ дает $x < 4$. Следовательно, итоговое решение должно удовлетворять условиям $x > 2$ и $x < 4$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x < 4$.

Ответ: $x \in (2; 4)$.

б) Решим вторую систему неравенств по тому же принципу.

1. Решим первое неравенство:

$29 + 25x > 2(13x + 9)$

Раскроем скобки в правой части:

$29 + 25x > 26x + 18$

Перенесем слагаемые:

$29 - 18 > 26x - 25x$

$11 > x$ или $x < 11$

2. Решим второе неравенство:

$2x > 5$

Разделим обе части на 2:

$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2.5$

3. Решим третье неравенство:

$3(5x + 3) < 4(4x + 3)$

Раскроем скобки:

$15x + 9 < 16x + 12$

Перенесем слагаемые:

$9 - 12 < 16x - 15x$

$-3 < x$ или $x > -3$

Найдем пересечение полученных решений:

$\left\{ \begin{array}{l} x < 11 \\ x > 2.5 \\ x > -3 \end{array} \right.$

Пересечение условий $x > 2.5$ и $x > -3$ дает $x > 2.5$. Таким образом, общее решение должно удовлетворять условиям $x < 11$ и $x > 2.5$. Это соответствует двойному неравенству $2.5 < x < 11$.

Ответ: $x \in (2.5; 11)$.