Номер 28.9, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.9, страница 174.

28.9. a) $ \begin{cases} (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12, \\ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x, \\ 3x - 16 \le x. \end{cases} $

а)
Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12, \\ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12 $.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$ ((x + 1) - (x - 1))((x + 1) + (x - 1)) \ge 12 $
$ (x + 1 - x + 1)(x + 1 + x - 1) \ge 12 $
$ (2)(2x) \ge 12 $
$ 4x \ge 12 $
$ x \ge 3 $

2. Решим второе неравенство: $ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9 $.
Применим формулу разности квадратов и формулу квадрата суммы:
$ (x^2 - 16) - (x^2 + 4x + 4) < 9 $
$ x^2 - 16 - x^2 - 4x - 4 < 9 $
$ -4x - 20 < 9 $
$ -4x < 29 $
$ x > -\frac{29}{4} $
$ x > -7.25 $

3. Найдем пересечение решений. Мы имеем систему:
$ \begin{cases} x \ge 3, \\ x > -7.25. \end{cases} $
Пересечением промежутков $x \in [3, +\infty)$ и $x \in (-7.25, +\infty)$ является промежуток $[3, +\infty)$.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

б)
Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x, \\ 3x - 16 \le x. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x $.
Выражение $ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x$ и $b=2$.
$ (x^3 - 2^3) - x^3 < 8x $
$ x^3 - 8 - x^3 < 8x $
$ -8 < 8x $
$ -1 < x $ или $ x > -1 $

2. Решим второе неравенство: $ 3x - 16 \le x $.
$ 3x - x \le 16 $
$ 2x \le 16 $
$ x \le 8 $

3. Найдем пересечение решений. Мы имеем систему:
$ \begin{cases} x > -1, \\ x \le 8. \end{cases} $
Пересечением промежутков $x \in (-1, +\infty)$ и $x \in (-\infty, 8]$ является промежуток $(-1, 8]$.

Ответ: $x \in (-1, 8]$.