Номер 28.11, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.11, страница 175.

28.11. a) $ \begin{cases} \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} > \frac{2x + 7}{3} - 8, \\ \frac{7x}{3} - \frac{11(x + 1)}{6} > \frac{3x - 1}{3} - \frac{13 - x}{2}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x, \\ \frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3}. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} > \frac{2x + 7}{3} - 8, \\ \frac{7x}{3} - \frac{11(x + 1)}{6} > \frac{3x - 1}{3} - \frac{13 - x}{2}; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$$ \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} > \frac{2x + 7}{3} - 8 $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 7, 5 и 3, которое равно 105.

$$ 105 \cdot \frac{3x + 5}{7} + 105 \cdot \frac{10 - 3x}{5} > 105 \cdot \frac{2x + 7}{3} - 105 \cdot 8 $$

$$ 15(3x + 5) + 21(10 - 3x) > 35(2x + 7) - 840 $$

Раскроем скобки:

$$ 45x + 75 + 210 - 63x > 70x + 245 - 840 $$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$$ -18x + 285 > 70x - 595 $$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной стороне, а постоянные члены — в другой:

$$ 285 + 595 > 70x + 18x $$

$$ 880 > 88x $$

Разделим обе части на 88 (знак неравенства не меняется):

$$ 10 > x, \text{ или } x < 10 $$

2. Решим второе неравенство:

$$ \frac{7x}{3} - \frac{11(x + 1)}{6} > \frac{3x - 1}{3} - \frac{13 - x}{2} $$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 3, 6 и 2, который равен 6:

$$ 6 \cdot \frac{7x}{3} - 6 \cdot \frac{11(x + 1)}{6} > 6 \cdot \frac{3x - 1}{3} - 6 \cdot \frac{13 - x}{2} $$

$$ 2(7x) - 11(x + 1) > 2(3x - 1) - 3(13 - x) $$

Раскроем скобки:

$$ 14x - 11x - 11 > 6x - 2 - 39 + 3x $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 3x - 11 > 9x - 41 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ 41 - 11 > 9x - 3x $$

$$ 30 > 6x $$

Разделим обе части на 6:

$$ 5 > x, \text{ или } x < 5 $$

3. Найдем решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x < 10$ и $x < 5$. Пересечением этих множеств является $x < 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x, \\ \frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3}. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$$ \frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x $$

Умножим обе части на общий знаменатель 4:

$$ 4 \cdot \frac{2x - 11}{4} + 4 \cdot \frac{19 - 2x}{2} < 4 \cdot (2x) $$

$$ (2x - 11) + 2(19 - 2x) < 8x $$

Раскроем скобки:

$$ 2x - 11 + 38 - 4x < 8x $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ -2x + 27 < 8x $$

Сгруппируем слагаемые с $x$:

$$ 27 < 8x + 2x $$

$$ 27 < 10x $$

Разделим обе части на 10:

$$ 2,7 < x, \text{ или } x > 2,7 $$

2. Решим второе неравенство:

$$ \frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3} $$

Представим правую часть в виде дробей:

$$ \frac{2x + 15}{9} > \frac{x - 1}{5} + \frac{x}{3} $$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 9, 5 и 3, который равен 45:

$$ 45 \cdot \frac{2x + 15}{9} > 45 \cdot \frac{x - 1}{5} + 45 \cdot \frac{x}{3} $$

$$ 5(2x + 15) > 9(x - 1) + 15x $$

Раскроем скобки:

$$ 10x + 75 > 9x - 9 + 15x $$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$$ 10x + 75 > 24x - 9 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ 75 + 9 > 24x - 10x $$

$$ 84 > 14x $$

Разделим обе части на 14:

$$ 6 > x, \text{ или } x < 6 $$

3. Найдем решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x > 2,7$ и $x < 6$. Это можно записать в виде двойного неравенства $2,7 < x < 6$.

Ответ: $x \in (2,7; 6)$.