Страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.11. a) $ \begin{cases} \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} > \frac{2x + 7}{3} - 8, \\ \frac{7x}{3} - \frac{11(x + 1)}{6} > \frac{3x - 1}{3} - \frac{13 - x}{2}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x, \\ \frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3}. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} > \frac{2x + 7}{3} - 8, \\ \frac{7x}{3} - \frac{11(x + 1)}{6} > \frac{3x - 1}{3} - \frac{13 - x}{2}; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$$ \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} > \frac{2x + 7}{3} - 8 $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 7, 5 и 3, которое равно 105.

$$ 105 \cdot \frac{3x + 5}{7} + 105 \cdot \frac{10 - 3x}{5} > 105 \cdot \frac{2x + 7}{3} - 105 \cdot 8 $$

$$ 15(3x + 5) + 21(10 - 3x) > 35(2x + 7) - 840 $$

Раскроем скобки:

$$ 45x + 75 + 210 - 63x > 70x + 245 - 840 $$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$$ -18x + 285 > 70x - 595 $$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной стороне, а постоянные члены — в другой:

$$ 285 + 595 > 70x + 18x $$

$$ 880 > 88x $$

Разделим обе части на 88 (знак неравенства не меняется):

$$ 10 > x, \text{ или } x < 10 $$

2. Решим второе неравенство:

$$ \frac{7x}{3} - \frac{11(x + 1)}{6} > \frac{3x - 1}{3} - \frac{13 - x}{2} $$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 3, 6 и 2, который равен 6:

$$ 6 \cdot \frac{7x}{3} - 6 \cdot \frac{11(x + 1)}{6} > 6 \cdot \frac{3x - 1}{3} - 6 \cdot \frac{13 - x}{2} $$

$$ 2(7x) - 11(x + 1) > 2(3x - 1) - 3(13 - x) $$

Раскроем скобки:

$$ 14x - 11x - 11 > 6x - 2 - 39 + 3x $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 3x - 11 > 9x - 41 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ 41 - 11 > 9x - 3x $$

$$ 30 > 6x $$

Разделим обе части на 6:

$$ 5 > x, \text{ или } x < 5 $$

3. Найдем решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x < 10$ и $x < 5$. Пересечением этих множеств является $x < 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x, \\ \frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3}. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$$ \frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x $$

Умножим обе части на общий знаменатель 4:

$$ 4 \cdot \frac{2x - 11}{4} + 4 \cdot \frac{19 - 2x}{2} < 4 \cdot (2x) $$

$$ (2x - 11) + 2(19 - 2x) < 8x $$

Раскроем скобки:

$$ 2x - 11 + 38 - 4x < 8x $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ -2x + 27 < 8x $$

Сгруппируем слагаемые с $x$:

$$ 27 < 8x + 2x $$

$$ 27 < 10x $$

Разделим обе части на 10:

$$ 2,7 < x, \text{ или } x > 2,7 $$

2. Решим второе неравенство:

$$ \frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3} $$

Представим правую часть в виде дробей:

$$ \frac{2x + 15}{9} > \frac{x - 1}{5} + \frac{x}{3} $$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 9, 5 и 3, который равен 45:

$$ 45 \cdot \frac{2x + 15}{9} > 45 \cdot \frac{x - 1}{5} + 45 \cdot \frac{x}{3} $$

$$ 5(2x + 15) > 9(x - 1) + 15x $$

Раскроем скобки:

$$ 10x + 75 > 9x - 9 + 15x $$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$$ 10x + 75 > 24x - 9 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ 75 + 9 > 24x - 10x $$

$$ 84 > 14x $$

Разделим обе части на 14:

$$ 6 > x, \text{ или } x < 6 $$

3. Найдем решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x > 2,7$ и $x < 6$. Это можно записать в виде двойного неравенства $2,7 < x < 6$.

Ответ: $x \in (2,7; 6)$.

28.12. a) $\begin{cases} x^3 < x, \\ 3x^2 - x > 5 - 15x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + 5}{x - 7} < 1, \\ \frac{3x + 4}{4x - 2} > -1. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^3 < x, \\ 3x^2 - x > 5 - 15x \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^3 < x$:

Перенесем все члены в левую часть: $x^3 - x < 0$.

Разложим на множители: $x(x^2 - 1) < 0$, что равносильно $x(x - 1)(x + 1) < 0$.

Применим метод интервалов. Корни многочлена $x(x - 1)(x + 1)$ равны $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; \infty)$. Определив знак выражения в каждом интервале, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

2. Решим второе неравенство $3x^2 - x > 5 - 15x$:

Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 - x + 15x - 5 > 0$.

Упростим: $3x^2 + 14x - 5 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 14x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 16}{6} = -5$; $x_2 = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$), ветви параболы $y = 3x^2 + 14x - 5$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 + 14x - 5 > 0$ верно для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Для этого сопоставим множества $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$ и $x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; -1)$ с множеством $(-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$ дает интервал $(-\infty; -5)$.

Пересечение интервала $(0; 1)$ с множеством $(-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$ дает интервал $(\frac{1}{3}; 1)$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; 1)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+5}{x-7} < 1, \\ \frac{3x+4}{4x-2} > -1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x+5}{x-7} < 1$:

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+5}{x-7} - 1 < 0$

$\frac{x+5 - (x-7)}{x-7} < 0$

$\frac{x+5 - x + 7}{x-7} < 0$

$\frac{12}{x-7} < 0$

Числитель дроби (12) является положительным числом. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицательным:

$x - 7 < 0 \implies x < 7$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 7)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{3x+4}{4x-2} > -1$:

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x+4}{4x-2} + 1 > 0$

$\frac{3x+4 + (4x-2)}{4x-2} > 0$

$\frac{7x+2}{4x-2} > 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$.

Нуль знаменателя: $4x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -\frac{2}{7})$, $(-\frac{2}{7}; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; \infty)$. Определив знак дроби в каждом интервале, находим, что неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это происходит на интервалах $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решение 1: $x \in (-\infty; 7)$

Решение 2: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; \infty)$

Пересекая эти два множества, получаем: $(-\infty; 7) \cap \left( (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; \infty) \right) = (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; 7)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; 7)$.

28.13. a) $\begin{cases} \frac{x}{x + 2} - \frac{24}{(x + 2)^2} < 0, \\ -3x < 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x - 4)^2} > 0, \\ x^2 < 25. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{x+2} - \frac{24}{(x+2)^2} < 0 \\ -3x < 9 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x}{x+2} - \frac{24}{(x+2)^2} < 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x+2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -2 $.

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x+2)^2 $:

$ \frac{x(x+2) - 24}{(x+2)^2} < 0 $

$ \frac{x^2 + 2x - 24}{(x+2)^2} < 0 $

Поскольку знаменатель $ (x+2)^2 $ всегда положителен при $ x \neq -2 $, знак дроби определяется знаком числителя. Следовательно, нам нужно решить неравенство $ x^2 + 2x - 24 < 0 $.

Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + 2x - 24 = 0 $. Используя теорему Виета или формулу для корней, получаем $ x_1 = -6 $ и $ x_2 = 4 $. Графиком функции $ y = x^2 + 2x - 24 $ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства $ x^2 + 2x - 24 < 0 $ есть интервал $ (-6, 4) $.

Учитывая ОДЗ ($ x \neq -2 $), получаем решение первого неравенства системы: $ x \in (-6, -2) \cup (-2, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ -3x < 9 $.

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:

$ x > -3 $

Решение второго неравенства: $ x \in (-3, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $ (-6, -2) \cup (-2, 4) $ и $ (-3, \infty) $. Пересечением является множество $ (-3, -2) \cup (-2, 4) $.

Ответ: $ x \in (-3, -2) \cup (-2, 4) $.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x-4)^2} > 0 \\ x^2 < 25 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2 - 1.5x - 7}{(x-4)^2} > 0 $.

ОДЗ: $ x-4 \neq 0 $, откуда $ x \neq 4 $.

Знаменатель $ (x-4)^2 $ положителен при всех $ x \neq 4 $. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Решим неравенство $ x^2 - 1.5x - 7 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ x^2 - 1.5x - 7 = 0 $. Умножим на 2 для удобства: $ 2x^2 - 3x - 14 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2 $.

Корни уравнения: $ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 11}{4} = -2 $ и $ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 11}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 $.

Графиком функции $ y = x^2 - 1.5x - 7 $ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Решение неравенства $ x^2 - 1.5x - 7 > 0 $: $ x < -2 $ или $ x > 3.5 $. В виде интервалов: $ x \in (-\infty, -2) \cup (3.5, \infty) $.

Учитывая ОДЗ ($ x \neq 4 $), которое находится в интервале $ (3.5, \infty) $, исключаем эту точку. Решение первого неравенства системы: $ x \in (-\infty, -2) \cup (3.5, 4) \cup (4, \infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ x^2 < 25 $.

Это равносильно $ |x| < 5 $, что означает $ -5 < x < 5 $.

Решение второго неравенства: $ x \in (-5, 5) $.

3. Найдем пересечение решений систем. Нам нужно найти пересечение множеств $ (-\infty, -2) \cup (3.5, 4) \cup (4, \infty) $ и $ (-5, 5) $.

Пересечение $ (-\infty, -2) $ с $ (-5, 5) $ дает $ (-5, -2) $.

Пересечение $ (3.5, 4) $ с $ (-5, 5) $ дает $ (3.5, 4) $.

Пересечение $ (4, \infty) $ с $ (-5, 5) $ дает $ (4, 5) $.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $ x \in (-5, -2) \cup (3.5, 4) \cup (4, 5) $.

Решите совокупность неравенств:

28.14. а) $ \begin{cases} x^2 - 4 > 0, \\ x - 6 < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x + 3)^3 \ge 27, \\ 4x - 1 < 12x; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x(x + 1) \le 0, \\ 3x - 9 > 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} (x + 3)(x^2 - 3x + 9) < 54, \\ x^2 - 9 > 0. \end{cases} $

а)

Решим каждое неравенство данной совокупности.

1. Первое неравенство: $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Корнями уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

2. Второе неравенство: $x - 6 < 0$.

Это линейное неравенство. Перенесем 6 в правую часть: $x < 6$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 6)$.

3. Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти объединение множеств $S_1 = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ и $S_2 = (-\infty, 6)$.

$S = S_1 \cup S_2 = ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cup (-\infty, 6)$.

Объединение множества $(-\infty, 6)$ и интервала $(2, \infty)$ покрывает всю числовую прямую. Любое число, меньшее 6, принадлежит множеству $S_2$. Любое число, большее 2, принадлежит множеству $S_1$. Так как $2 < 6$, эти два множества вместе покрывают все действительные числа.

Таким образом, решением совокупности является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

б)

Решим каждое неравенство данной совокупности.

1. Первое неравенство: $(x + 3)^3 \ge 27$.

Функция $y = t^3$ является монотонно возрастающей, поэтому можно извлечь кубический корень из обеих частей неравенства, не меняя его знака:

$\sqrt[3]{(x + 3)^3} \ge \sqrt[3]{27}$

$x + 3 \ge 3$

$x \ge 0$

Решение первого неравенства: $x \in [0, \infty)$.

2. Второе неравенство: $4x - 1 < 12x$.

Сгруппируем члены с $x$ в одной части: $-1 < 12x - 4x$.

$-1 < 8x$

$x > -\frac{1}{8}$

Решение второго неравенства: $x \in (-1/8, \infty)$.

3. Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств: $S = [0, \infty) \cup (-1/8, \infty)$.

Интервал $[0, \infty)$ полностью содержится в интервале $(-1/8, \infty)$. Следовательно, их объединением будет больший интервал.

Ответ: $x \in (-1/8, \infty)$.

в)

Решим каждое неравенство данной совокупности.

1. Первое неравенство: $x(x + 1) \le 0$.

Корнями уравнения $x(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции меньше или равны нулю между корнями (включительно).

Решение первого неравенства: $x \in [-1, 0]$.

2. Второе неравенство: $3x - 9 > 0$.

$3x > 9$

$x > 3$

Решение второго неравенства: $x \in (3, \infty)$.

3. Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств: $S = [-1, 0] \cup (3, \infty)$.

Данные множества не пересекаются, поэтому их объединение так и записывается.

Ответ: $x \in [-1, 0] \cup (3, \infty)$.

г)

Решим каждое неравенство данной совокупности.

1. Первое неравенство: $(x + 3)(x^2 - 3x + 9) < 54$.

Выражение в левой части является формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

При $a=x$ и $b=3$ получаем: $x^3 + 3^3 = x^3 + 27$.

Неравенство принимает вид: $x^3 + 27 < 54$.

$x^3 < 54 - 27$

$x^3 < 27$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем: $x < 3$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

2. Второе неравенство: $x^2 - 9 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$.

Корнями уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Решением неравенства будут значения $x$ вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

3. Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств: $S = (-\infty, 3) \cup ((-\infty, -3) \cup (3, \infty))$.

Объединение множества $(-\infty, 3)$ с множеством $(-\infty, -3)$ дает $(-\infty, 3)$.

Теперь объединим результат с оставшейся частью: $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.

Это объединение представляет собой всю числовую прямую, за исключением точки $x=3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.

◯28.15.

a) $\begin{cases} \frac{2x - 3}{x + 3} > 0, \\ \frac{5x + 1}{4x - 2} < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{2}{x + 3} < \frac{5}{x}, \\ \frac{3}{x - 2} < \frac{2}{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x + 3)(x - 1) > 0, \\ 2 - x^2 \le 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 < 25, \\ \frac{x - 1}{x + 3} < 0. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) Решим неравенство $ \frac{2x - 3}{x + 3} > 0 $ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5 $ и $ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 $. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки дроби в полученных интервалах.

При $ x > 1.5 $, дробь положительна.
При $ -3 < x < 1.5 $, дробь отрицательна.
При $ x < -3 $, дробь положительна.
Решением первого неравенства является объединение интервалов, где дробь положительна: $ x \in (-\infty, -3) \cup (1.5, +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \frac{5x + 1}{4x - 2} < 0 $ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.2 $ и $ 4x - 2 = 0 \Rightarrow x = 0.5 $. Отметим эти точки на числовой оси.

При $ x > 0.5 $, дробь положительна.
При $ -0.2 < x < 0.5 $, дробь отрицательна.
При $ x < -0.2 $, дробь положительна.
Решением второго неравенства является интервал, где дробь отрицательна: $ x \in (-0.2, 0.5) $.

3) Найдем пересечение решений двух неравенств: $ ((-\infty, -3) \cup (1.5, +\infty)) \cap (-0.2, 0.5) $. Так как эти множества не имеют общих точек, пересечение пусто.

Ответ: $ \emptyset $ (нет решений).

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) Преобразуем и решим первое неравенство: $ \frac{2}{x + 3} < \frac{5}{x} $.
$ \frac{2}{x + 3} - \frac{5}{x} < 0 $
$ \frac{2x - 5(x + 3)}{x(x + 3)} < 0 $
$ \frac{2x - 5x - 15}{x(x + 3)} < 0 $
$ \frac{-3x - 15}{x(x + 3)} < 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{3x + 15}{x(x + 3)} > 0 $.
Методом интервалов находим, что нули выражения равны $ x = -5, x = -3, x = 0 $.
Решение этого неравенства: $ x \in (-5, -3) \cup (0, +\infty) $.

2) Преобразуем и решим второе неравенство: $ \frac{3}{x - 2} < \frac{2}{x} $.
$ \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x} < 0 $
$ \frac{3x - 2(x - 2)}{x(x - 2)} < 0 $
$ \frac{3x - 2x + 4}{x(x - 2)} < 0 $
$ \frac{x + 4}{x(x - 2)} < 0 $.
Методом интервалов находим, что нули выражения равны $ x = -4, x = 0, x = 2 $.
Решение этого неравенства: $ x \in (-\infty, -4) \cup (0, 2) $.

3) Найдем пересечение решений: $ ((-5, -3) \cup (0, +\infty)) \cap ((-\infty, -4) \cup (0, 2)) $.
Пересечение $ (-5, -3) $ и $ (-\infty, -4) $ дает $ (-5, -4) $.
Пересечение $ (0, +\infty) $ и $ (0, 2) $ дает $ (0, 2) $.
Объединяя эти результаты, получаем общее решение системы.

Ответ: $ x \in (-5, -4) \cup (0, 2) $.

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) Решим неравенство $ (x + 3)(x - 1) > 0 $. Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх. Нули функции: $ x = -3 $ и $ x = 1 $. Неравенство выполняется, когда $ x $ находится вне интервала между корнями. Решение: $ x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $.

2) Решим неравенство $ 2 - x^2 \le 0 $.
$ 2 \le x^2 $
$ |x| \ge \sqrt{2} $
Это означает, что $ x \le -\sqrt{2} $ или $ x \ge \sqrt{2} $.
Решение: $ x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty) $.

3) Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -3) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty)) $.
Так как $ -3 < -\sqrt{2} $ (потому что $9 > 2$), пересечение $ (-\infty, -3) $ и $ (-\infty, -\sqrt{2}] $ есть $ (-\infty, -3) $.
Так как $ 1 < \sqrt{2} $, пересечение $ (1, +\infty) $ и $ [\sqrt{2}, +\infty) $ есть $ [\sqrt{2}, +\infty) $.
Общее решение является объединением этих множеств.

Ответ: $ x \in (-\infty, -3) \cup [\sqrt{2}, +\infty) $.

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) Решим неравенство $ x^2 < 25 $.
$ x^2 - 25 < 0 $
$ (x - 5)(x + 5) < 0 $.
Корни $ x = -5 $ и $ x = 5 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями. Решение: $ x \in (-5, 5) $.

2) Решим неравенство $ \frac{x - 1}{x + 3} < 0 $ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = 1 $ и $ x = -3 $. На интервале $ (-3, 1) $ дробь отрицательна. Решение: $ x \in (-3, 1) $.

3) Найдем пересечение решений: $ (-5, 5) \cap (-3, 1) $. Пересечением этих двух интервалов является интервал $ (-3, 1) $.

Ответ: $ x \in (-3, 1) $.