Номер 28.13, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.13, страница 175.

28.13. a) $\begin{cases} \frac{x}{x + 2} - \frac{24}{(x + 2)^2} < 0, \\ -3x < 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x - 4)^2} > 0, \\ x^2 < 25. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{x+2} - \frac{24}{(x+2)^2} < 0 \\ -3x < 9 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x}{x+2} - \frac{24}{(x+2)^2} < 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x+2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -2 $.

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x+2)^2 $:

$ \frac{x(x+2) - 24}{(x+2)^2} < 0 $

$ \frac{x^2 + 2x - 24}{(x+2)^2} < 0 $

Поскольку знаменатель $ (x+2)^2 $ всегда положителен при $ x \neq -2 $, знак дроби определяется знаком числителя. Следовательно, нам нужно решить неравенство $ x^2 + 2x - 24 < 0 $.

Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + 2x - 24 = 0 $. Используя теорему Виета или формулу для корней, получаем $ x_1 = -6 $ и $ x_2 = 4 $. Графиком функции $ y = x^2 + 2x - 24 $ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства $ x^2 + 2x - 24 < 0 $ есть интервал $ (-6, 4) $.

Учитывая ОДЗ ($ x \neq -2 $), получаем решение первого неравенства системы: $ x \in (-6, -2) \cup (-2, 4) $.

2. Решим второе неравенство: $ -3x < 9 $.

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:

$ x > -3 $

Решение второго неравенства: $ x \in (-3, \infty) $.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $ (-6, -2) \cup (-2, 4) $ и $ (-3, \infty) $. Пересечением является множество $ (-3, -2) \cup (-2, 4) $.

Ответ: $ x \in (-3, -2) \cup (-2, 4) $.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x-4)^2} > 0 \\ x^2 < 25 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2 - 1.5x - 7}{(x-4)^2} > 0 $.

ОДЗ: $ x-4 \neq 0 $, откуда $ x \neq 4 $.

Знаменатель $ (x-4)^2 $ положителен при всех $ x \neq 4 $. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Решим неравенство $ x^2 - 1.5x - 7 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ x^2 - 1.5x - 7 = 0 $. Умножим на 2 для удобства: $ 2x^2 - 3x - 14 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2 $.

Корни уравнения: $ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 11}{4} = -2 $ и $ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 11}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 $.

Графиком функции $ y = x^2 - 1.5x - 7 $ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Решение неравенства $ x^2 - 1.5x - 7 > 0 $: $ x < -2 $ или $ x > 3.5 $. В виде интервалов: $ x \in (-\infty, -2) \cup (3.5, \infty) $.

Учитывая ОДЗ ($ x \neq 4 $), которое находится в интервале $ (3.5, \infty) $, исключаем эту точку. Решение первого неравенства системы: $ x \in (-\infty, -2) \cup (3.5, 4) \cup (4, \infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ x^2 < 25 $.

Это равносильно $ |x| < 5 $, что означает $ -5 < x < 5 $.

Решение второго неравенства: $ x \in (-5, 5) $.

3. Найдем пересечение решений систем. Нам нужно найти пересечение множеств $ (-\infty, -2) \cup (3.5, 4) \cup (4, \infty) $ и $ (-5, 5) $.

Пересечение $ (-\infty, -2) $ с $ (-5, 5) $ дает $ (-5, -2) $.

Пересечение $ (3.5, 4) $ с $ (-5, 5) $ дает $ (3.5, 4) $.

Пересечение $ (4, \infty) $ с $ (-5, 5) $ дает $ (4, 5) $.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $ x \in (-5, -2) \cup (3.5, 4) \cup (4, 5) $.