Номер 28.16, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.16, страница 176.

Решите неравенство:

28.16. а) $\log_9(x^2 - 10x + 40) \le \log_9(4x - 8);$

б) $\log_{0,7}(9x - 4x^2) \ge \log_{0,7}(x^3 + 4x^2);$

в) $\log_{\sqrt{2}} \frac{x - 2}{2x - 4} < \log_{\sqrt{2}} \frac{x + 1}{x + 2};$

г) $\log_{\frac{1}{3}} (5x - 4) < \log_{\frac{1}{3}} x^2.$

а) $log_9(x^2 - 10x + 40) \le log_9(4x - 8)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$\begin{cases} x^2 - 10x + 40 > 0 \\ 4x - 8 > 0 \end{cases}$

Для первого неравенства $x^2 - 10x + 40 > 0$ найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 100 - 160 = -60$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то квадратный трехчлен положителен при любых значениях $x$.

Для второго неравенства $4x - 8 > 0$:
$4x > 8$
$x > 2$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $9 > 1$, то функция $y=log_9(t)$ является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 10x + 40 \le 4x - 8$
$x^2 - 10x - 4x + 40 + 8 \le 0$
$x^2 - 14x + 48 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 48 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 14$ и $x_1 \cdot x_2 = 48$. Корни равны $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.
Парабола $y = x^2 - 14x + 48$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 14x + 48 \le 0$ выполняется между корнями: $6 \le x \le 8$.

3. Совместим решение с ОДЗ. Найдем пересечение множеств $x \in [6; 8]$ и $x \in (2; +\infty)$.
Решением является интервал $[6; 8]$.

Ответ: $[6; 8]$.

б) $log_{0,7}(9x - 4x^2) \ge log_{0,7}(x^3 + 4x^2)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 9x - 4x^2 > 0 \\ x^3 + 4x^2 > 0 \end{cases}$

Для первого неравенства $9x - 4x^2 > 0 \implies x(9 - 4x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=9/4$. Парабола ветвями вниз, значит, решение $x \in (0; 9/4)$.

Для второго неравенства $x^3 + 4x^2 > 0 \implies x^2(x + 4) > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то неравенство выполняется, когда $x+4>0$ и $x \ne 0$. То есть $x > -4$ и $x \ne 0$, что дает $x \in (-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (0; 9/4)$.

2. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $0,7 < 1$, то функция $y=log_{0,7}(t)$ является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$9x - 4x^2 \le x^3 + 4x^2$
$0 \le x^3 + 8x^2 - 9x$
$x(x^2 + 8x - 9) \ge 0$

Найдем корни $x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, $x_1=-9$, $x_2=1$.
Неравенство принимает вид $x(x - 1)(x + 9) \ge 0$.
Решим методом интервалов. Корни: $-9, 0, 1$.
Решение неравенства: $x \in [-9; 0] \cup [1; +\infty)$.

3. Совместим решение с ОДЗ. Найдем пересечение $x \in (0; 9/4)$ и $x \in [-9; 0] \cup [1; +\infty)$.
Пересечение $ (0; 9/4) \cap ([-9; 0] \cup [1; +\infty)) $ равно $[1; 9/4)$.

Ответ: $[1; 9/4)$.

в) $log_{\sqrt{2}}\frac{x - 2}{2x - 4} < log_{\sqrt{2}}\frac{x + 1}{x + 2}$

1. Упростим левую часть. Заметим, что $\frac{x-2}{2x-4} = \frac{x-2}{2(x-2)} = \frac{1}{2}$ при условии, что $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$.
Неравенство принимает вид: $log_{\sqrt{2}}(\frac{1}{2}) < log_{\sqrt{2}}\frac{x + 1}{x + 2}$

2. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны.
$\begin{cases} \frac{1}{2} > 0 \\ \frac{x + 1}{x + 2} > 0 \\ x \ne 2 \end{cases}$

Первое неравенство всегда верно. Решим второе неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-1$ и $x=-2$.
Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$.
С учетом $x \ne 2$, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $\sqrt{2} \approx 1.41 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\frac{1}{2} < \frac{x + 1}{x + 2}$
$\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{1}{2} > 0$
$\frac{2(x + 1) - 1(x + 2)}{2(x + 2)} > 0$
$\frac{2x + 2 - x - 2}{2(x + 2)} > 0$
$\frac{x}{2(x + 2)} > 0$
$\frac{x}{x + 2} > 0$
Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

4. Совместим решение с ОДЗ. Найдем пересечение $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ и $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.
Результат: $(-\infty; -2) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

г) $log_{\frac{1}{3}}(5x - 4) < log_{\frac{1}{3}}x^2$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 5x - 4 > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $5x > 4 \implies x > 4/5$.
Из второго неравенства: $x \ne 0$.
ОДЗ: $x \in (4/5; +\infty)$.

2. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $1/3 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$5x - 4 > x^2$
$0 > x^2 - 5x + 4$
$x^2 - 5x + 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1=1, x_2=4$.
Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 4 < 0$ выполняется между корнями: $1 < x < 4$.

3. Совместим решение с ОДЗ. Найдем пересечение $x \in (1; 4)$ и $x \in (4/5; +\infty)$.
Так как $4/5 = 0.8$, то интервал $(1; 4)$ полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(1; 4)$.