Номер 28.12, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.12, страница 175.

28.12. a) $\begin{cases} x^3 < x, \\ 3x^2 - x > 5 - 15x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + 5}{x - 7} < 1, \\ \frac{3x + 4}{4x - 2} > -1. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^3 < x, \\ 3x^2 - x > 5 - 15x \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $x^3 < x$:

Перенесем все члены в левую часть: $x^3 - x < 0$.

Разложим на множители: $x(x^2 - 1) < 0$, что равносильно $x(x - 1)(x + 1) < 0$.

Применим метод интервалов. Корни многочлена $x(x - 1)(x + 1)$ равны $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; \infty)$. Определив знак выражения в каждом интервале, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

2. Решим второе неравенство $3x^2 - x > 5 - 15x$:

Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 - x + 15x - 5 > 0$.

Упростим: $3x^2 + 14x - 5 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 14x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 16}{6} = -5$; $x_2 = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$), ветви параболы $y = 3x^2 + 14x - 5$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 + 14x - 5 > 0$ верно для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Для этого сопоставим множества $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$ и $x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; -1)$ с множеством $(-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$ дает интервал $(-\infty; -5)$.

Пересечение интервала $(0; 1)$ с множеством $(-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$ дает интервал $(\frac{1}{3}; 1)$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; 1)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+5}{x-7} < 1, \\ \frac{3x+4}{4x-2} > -1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x+5}{x-7} < 1$:

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+5}{x-7} - 1 < 0$

$\frac{x+5 - (x-7)}{x-7} < 0$

$\frac{x+5 - x + 7}{x-7} < 0$

$\frac{12}{x-7} < 0$

Числитель дроби (12) является положительным числом. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицательным:

$x - 7 < 0 \implies x < 7$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 7)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{3x+4}{4x-2} > -1$:

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x+4}{4x-2} + 1 > 0$

$\frac{3x+4 + (4x-2)}{4x-2} > 0$

$\frac{7x+2}{4x-2} > 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$.

Нуль знаменателя: $4x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -\frac{2}{7})$, $(-\frac{2}{7}; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; \infty)$. Определив знак дроби в каждом интервале, находим, что неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это происходит на интервалах $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решение 1: $x \in (-\infty; 7)$

Решение 2: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; \infty)$

Пересекая эти два множества, получаем: $(-\infty; 7) \cap \left( (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; \infty) \right) = (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; 7)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; 7)$.