Номер 28.14, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.14, страница 175.

Решите совокупность неравенств:

28.14. а) $ \begin{cases} x^2 - 4 > 0, \\ x - 6 < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x + 3)^3 \ge 27, \\ 4x - 1 < 12x; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x(x + 1) \le 0, \\ 3x - 9 > 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} (x + 3)(x^2 - 3x + 9) < 54, \\ x^2 - 9 > 0. \end{cases} $

а)

Решим каждое неравенство данной совокупности.

1. Первое неравенство: $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Корнями уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

2. Второе неравенство: $x - 6 < 0$.

Это линейное неравенство. Перенесем 6 в правую часть: $x < 6$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 6)$.

3. Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти объединение множеств $S_1 = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ и $S_2 = (-\infty, 6)$.

$S = S_1 \cup S_2 = ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cup (-\infty, 6)$.

Объединение множества $(-\infty, 6)$ и интервала $(2, \infty)$ покрывает всю числовую прямую. Любое число, меньшее 6, принадлежит множеству $S_2$. Любое число, большее 2, принадлежит множеству $S_1$. Так как $2 < 6$, эти два множества вместе покрывают все действительные числа.

Таким образом, решением совокупности является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

б)

Решим каждое неравенство данной совокупности.

1. Первое неравенство: $(x + 3)^3 \ge 27$.

Функция $y = t^3$ является монотонно возрастающей, поэтому можно извлечь кубический корень из обеих частей неравенства, не меняя его знака:

$\sqrt[3]{(x + 3)^3} \ge \sqrt[3]{27}$

$x + 3 \ge 3$

$x \ge 0$

Решение первого неравенства: $x \in [0, \infty)$.

2. Второе неравенство: $4x - 1 < 12x$.

Сгруппируем члены с $x$ в одной части: $-1 < 12x - 4x$.

$-1 < 8x$

$x > -\frac{1}{8}$

Решение второго неравенства: $x \in (-1/8, \infty)$.

3. Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств: $S = [0, \infty) \cup (-1/8, \infty)$.

Интервал $[0, \infty)$ полностью содержится в интервале $(-1/8, \infty)$. Следовательно, их объединением будет больший интервал.

Ответ: $x \in (-1/8, \infty)$.

в)

Решим каждое неравенство данной совокупности.

1. Первое неравенство: $x(x + 1) \le 0$.

Корнями уравнения $x(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции меньше или равны нулю между корнями (включительно).

Решение первого неравенства: $x \in [-1, 0]$.

2. Второе неравенство: $3x - 9 > 0$.

$3x > 9$

$x > 3$

Решение второго неравенства: $x \in (3, \infty)$.

3. Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств: $S = [-1, 0] \cup (3, \infty)$.

Данные множества не пересекаются, поэтому их объединение так и записывается.

Ответ: $x \in [-1, 0] \cup (3, \infty)$.

г)

Решим каждое неравенство данной совокупности.

1. Первое неравенство: $(x + 3)(x^2 - 3x + 9) < 54$.

Выражение в левой части является формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

При $a=x$ и $b=3$ получаем: $x^3 + 3^3 = x^3 + 27$.

Неравенство принимает вид: $x^3 + 27 < 54$.

$x^3 < 54 - 27$

$x^3 < 27$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем: $x < 3$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

2. Второе неравенство: $x^2 - 9 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$.

Корнями уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Решением неравенства будут значения $x$ вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

3. Решением совокупности является объединение решений обоих неравенств: $S = (-\infty, 3) \cup ((-\infty, -3) \cup (3, \infty))$.

Объединение множества $(-\infty, 3)$ с множеством $(-\infty, -3)$ дает $(-\infty, 3)$.

Теперь объединим результат с оставшейся частью: $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.

Это объединение представляет собой всю числовую прямую, за исключением точки $x=3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.