Номер 28.18, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.18, страница 176.

28.18. a) $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6;$

б) $(2 \cdot 0.1^x + 3)^{10} \le (0.1^x + 103)^{10};$

в) $(3 - 3 \log_{0.2} x)^{13} < (\log_{0.2} x + 7)^{13};$

г) $(3 \log_7 x - 24)^5 > (2 \log_7 x - 22)^5.$

а)

Дано неравенство $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6$.

Поскольку показатель степени 6 — четное число, это неравенство равносильно неравенству $|2^{x+1} + 1| \ge |2^x + 17|$.

Заметим, что показательная функция $2^x$ всегда положительна ($2^x > 0$). Следовательно, выражения в скобках всегда положительны: $2^{x+1} + 1 > 0$ и $2^x + 17 > 0$. Это позволяет нам опустить знаки модуля.

$2^{x+1} + 1 \ge 2^x + 17$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, перепишем $2^{x+1}$ как $2 \cdot 2^x$:

$2 \cdot 2^x + 1 \ge 2^x + 17$

Сгруппируем члены с $2^x$ в левой части, а константы — в правой:

$2 \cdot 2^x - 2^x \ge 17 - 1$

$2^x \ge 16$

Представим 16 как степень числа 2:

$2^x \ge 2^4$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

б)

Дано неравенство $(2 \cdot 0,1^x + 3)^{10} \le (0,1^x + 103)^{10}$.

Показатель степени 10 — четное число. Следовательно, неравенство равносильно $|2 \cdot 0,1^x + 3| \le |0,1^x + 103|$.

Так как $0,1^x > 0$ для любого действительного $x$, оба выражения в скобках всегда положительны. Значит, знаки модуля можно убрать:

$2 \cdot 0,1^x + 3 \le 0,1^x + 103$

Выполним преобразования:

$2 \cdot 0,1^x - 0,1^x \le 103 - 3$

$0,1^x \le 100$

Представим обе части неравенства как степени числа 10. Учитывая, что $0,1 = 10^{-1}$ и $100 = 10^2$:

$(10^{-1})^x \le 10^2$

$10^{-x} \le 10^2$

Основание степени $10 > 1$, поэтому показательная функция возрастает. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$-x \le 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge -2$

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

в)

Дано неравенство $(3 - 3\log_{0,2} x)^{13} < (\log_{0,2} x + 7)^{13}$.

Поскольку показатель степени 13 — нечетное число, функция $y=u^{13}$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для оснований степеней:

$3 - 3\log_{0,2} x < \log_{0,2} x + 7$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Для решения неравенства введем замену $t = \log_{0,2} x$:

$3 - 3t < t + 7$

$-3t - t < 7 - 3$

$-4t < 4$

$t > -1$

Вернемся к исходной переменной:

$\log_{0,2} x > -1$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,2: $-1 = \log_{0,2} (0,2)^{-1} = \log_{0,2} 5$.

$\log_{0,2} x > \log_{0,2} 5$

Так как основание логарифма $0,2 \in (0, 1)$, логарифмическая функция $y=\log_{0,2}t$ является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x < 5$

Объединим полученное решение с ОДЗ ($x > 0$):

$0 < x < 5$

Ответ: $x \in (0; 5)$.

г)

Дано неравенство $(3\log_7 x - 24)^5 > (2\log_7 x - 22)^5$.

Показатель степени 5 — нечетное число, поэтому функция $y=u^5$ является строго возрастающей. Неравенство равносильно следующему:

$3\log_7 x - 24 > 2\log_7 x - 22$

ОДЗ логарифма: $x > 0$.

Введем замену $t = \log_7 x$:

$3t - 24 > 2t - 22$

$3t - 2t > 24 - 22$

$t > 2$

Выполним обратную замену:

$\log_7 x > 2$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 7: $2 = \log_7 7^2 = \log_7 49$.

$\log_7 x > \log_7 49$

Так как основание логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция $y=\log_7 t$ является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 49$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (49; +\infty)$.