Номер 28.17, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.17, страница 176.

28.17. a) $(x^2 - 6x)^5 \ge (2x - 7)^5;$

б) $(x^2 - 2x)^9 \le (2x - x^2 - 2)^9;$

в) $(x^2 - 10)^{11} < (5 - 2x)^{11};$

г) $(6x^2 - 4x - 2)^7 > (x^2 + 3x + 10)^7.$

а) $(x^2 - 6x)^5 \ge (2x - 7)^5$

Поскольку функция $y=t^n$ при нечетном $n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно неравенству для оснований степеней:

$x^2 - 6x \ge 2x - 7$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 6x - 2x + 7 \ge 0$

$x^2 - 8x + 7 \ge 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая концы).

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

б) $(x^2 - 2x)^9 \le (2x - x^2 - 2)^9$

Так как показатель степени 9 — нечетное число, неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 2x \le 2x - x^2 - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 2x + x^2 + 2 \le 0$

$2x^2 - 4x + 2 \le 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - 2x + 1 \le 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x - 1)^2 = 0$.

Это равенство верно при $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Ответ: $1$.

в) $(x^2 - 10)^{11} < (5 - 2x)^{11}$

Показатель степени 11 является нечетным, поэтому неравенство эквивалентно неравенству для оснований:

$x^2 - 10 < 5 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x - 10 - 5 < 0$

$x^2 + 2x - 15 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -15. Корни равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется, когда $x$ находится строго между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-5 < x < 3$.

Ответ: $(-5, 3)$.

г) $(6x^2 - 4x - 2)^7 > (x^2 + 3x + 10)^7$

Поскольку показатель степени 7 — нечетное число, неравенство равносильно неравенству:

$6x^2 - 4x - 2 > x^2 + 3x + 10$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$6x^2 - x^2 - 4x - 3x - 2 - 10 > 0$

$5x^2 - 7x - 12 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 7x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289 = 17^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{24}{10} = 2.4$

Графиком функции $y = 5x^2 - 7x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2.4$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (2.4, \infty)$.