Страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют определённым интегралом от функции $y = f(x)$ по отрезку $[a; b]$? Как обозначается определённый интеграл?

Что называют определённым интегралом от функции y = f(x) по отрезку [a; b]?

Определённый интеграл от непрерывной на отрезке $[a; b]$ функции $y = f(x)$ можно определить несколькими способами, которые дополняют друг друга.

1. Геометрическое определение: Если функция $f(x)$ неотрицательна (т.е. $f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, то определённый интеграл от этой функции численно равен площади криволинейной трапеции. Это фигура, ограниченная сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — осью абсцисс (Ox), а по бокам — вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

2. Определение через предел интегральных сумм (определение Римана): Это более строгое и общее определение. Процесс выглядит следующим образом:
• Отрезок интегрирования $[a; b]$ разбивается на $n$ элементарных (малых) отрезков точками $a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b$. Длина каждого такого отрезка обозначается как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.
• Внутри каждого элементарного отрезка $[x_{i-1}; x_i]$ выбирается произвольная точка $\xi_i$.
• Составляется интегральная сумма $S_n$ как сумма площадей прямоугольников, у которых основание равно $\Delta x_i$, а высота — значению функции в точке $\xi_i$, то есть $f(\xi_i)$:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$
• Определённый интеграл — это предел, к которому стремится эта интегральная сумма, когда длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю ($\max \Delta x_i \to 0$), и этот предел не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек $\xi_i$.
Математически это записывается так:
$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$

3. Через первообразную (формула Ньютона-Лейбница): Определённый интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ равен разности значений любой её первообразной $F(x)$ (т.е. такой функции, что $F'(x) = f(x)$) на концах этого отрезка:
$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$
Эта формула является основным инструментом для вычисления определённых интегралов на практике.

Как обозначается определённый интеграл?

Определённый интеграл от функции $f(x)$ по отрезку $[a; b]$ обозначается следующим образом:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$
Расшифровка этого обозначения:
• $\int$ — знак интеграла. Исторически произошел от стилизованной буквы S, первой буквы латинского слова summa (сумма).
• $a$ — нижний предел интегрирования (начало отрезка).
• $b$ — верхний предел интегрирования (конец отрезка).
• $f(x)$ — подынтегральная функция.
• $dx$ — дифференциал переменной интегрирования, который указывает, по какой переменной (в данном случае $x$) производится операция интегрирования.

Ответ: Определённым интегралом от функции $y=f(x)$ по отрезку $[a; b]$ называют предел её интегральных сумм $\lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$. Геометрически для неотрицательной функции он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$. Обозначается определённый интеграл как $\int_{a}^{b} f(x) dx$.

...по отрезку $[a,b]$. Как ...

2. В чём состоит геометрический смысл определённого интеграла?

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в вычислении площади плоской фигуры, которая называется криволинейной трапецией.

Рассмотрим наиболее простой и распространённый случай. Пусть на отрезке $[a, b]$ задана непрерывная и неотрицательная функция $y = f(x)$, то есть $f(x) \ge 0$ для всех $x \in [a, b]$. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — осью абсцисс ($Ox$), а по бокам — прямыми $x=a$ и $x=b$.

В этом случае определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ численно равен площади $S$ этой криволинейной трапеции.
$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Геометрический смысл сохраняется и для функций, принимающих отрицательные значения, но с некоторыми особенностями:

• Если функция $y=f(x)$ непрерывна и неположительна ($f(x) \le 0$) на отрезке $[a, b]$, то её график расположен под осью абсцисс. Определённый интеграл от такой функции будет отрицательным, а его модуль равен площади соответствующей криволинейной трапеции. То есть, площадь $S$ можно найти так:
  $S = - \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \left| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right|$
• Если функция $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$ принимает значения разных знаков, то определённый интеграл выражает алгебраическую сумму площадей фигур, на которые график функции делит криволинейную трапецию. Площади фигур, расположенных над осью абсцисс, входят в сумму со знаком «плюс», а площади фигур, расположенных под осью абсцисс, — со знаком «минус». Например, если $f(x)$ пересекает ось Ox в точке $c \in (a, b)$, будучи положительной на $[a, c]$ и отрицательной на $[c, b]$, то:
  $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = S_{1} - S_{2}$
  где $S_1$ — площадь фигуры над осью Ox, а $S_2$ — площадь фигуры под осью Ox.

Таким образом, определённый интеграл является обобщением понятия площади, представляя собой "площадь со знаком" или алгебраическую площадь.

Ответ: Геометрический смысл определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Если функция на этом отрезке меняет знак, то интеграл равен разности между суммой площадей фигур, расположенных над осью $Ox$, и суммой площадей фигур, расположенных под ней.

3. В чём состоит физический смысл определённого интеграла?

Физический смысл определённого интеграла заключается в нахождении итогового значения некоторой физической величины путём суммирования её бесконечно малых приращений. Если подынтегральная функция $f(x)$ описывает скорость изменения (или плотность распределения) некоторой физической величины $Y$ в зависимости от другой величины $x$, то определённый интеграл от $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ даёт полное изменение (или суммарное значение) величины $Y$ на этом отрезке.

Рассмотрим это на конкретных примерах из разных разделов физики.

1. Путь, пройденный телом при неравномерном движении
Пусть тело движется вдоль прямой, и его скорость $v$ является функцией времени $t$, то есть $v = v(t)$. Скорость — это быстрота изменения координаты (пути). За очень малый промежуток времени $dt$ тело пройдёт очень малый путь $ds$, который можно считать пройденным с постоянной скоростью $v(t)$. Таким образом, $ds = v(t) \cdot dt$. Чтобы найти путь $S$, пройденный телом за конечный промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо просуммировать все эти элементарные пути $ds$. Эта операция суммирования и есть интегрирование.
$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$
Ответ: Определённый интеграл от скорости по времени равен пути, пройденному телом за этот промежуток времени.

2. Работа переменной силы
Пусть тело перемещается под действием силы $F$, которая меняется в зависимости от положения тела $x$, то есть $F = F(x)$. Работа, по определению, равна произведению силы на перемещение. Если сила переменная, то на очень малом перемещении $dx$ можно считать её постоянной и равной $F(x)$. Элементарная работа $dA$, совершённая на этом перемещении, равна $dA = F(x) \cdot dx$. Полная работа $A$, совершённая силой при перемещении тела из точки $x_1$ в точку $x_2$, будет равна сумме всех элементарных работ.
$A = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$
Ответ: Определённый интеграл от силы по перемещению равен работе, совершённой этой силой.

3. Масса неоднородного стержня
Рассмотрим тонкий стержень, расположенный вдоль оси $Ox$ от $x=a$ до $x=b$. Пусть его плотность неоднородна и зависит от координаты, то есть линейная плотность (масса на единицу длины) есть функция $\rho = \rho(x)$. Выделим малый участок стержня длиной $dx$. Его массу $dm$ можно найти, умножив плотность в этой точке на длину участка: $dm = \rho(x) \cdot dx$. Чтобы найти массу $m$ всего стержня, нужно просуммировать массы всех таких малых участков.
$m = \int_{a}^{b} \rho(x) dx$
Ответ: Определённый интеграл от линейной плотности по длине равен массе тела.

4. Заряд, прошедший через проводник
Пусть по проводнику течёт переменный ток, сила которого $I$ зависит от времени $t$, то есть $I = I(t)$. Сила тока — это скорость прохождения заряда через поперечное сечение проводника ($I = dQ/dt$). За малый промежуток времени $dt$ через сечение пройдёт малый заряд $dQ = I(t) \cdot dt$. Полный заряд $Q$, прошедший через сечение проводника за время от $t_1$ до $t_2$, равен сумме всех элементарных зарядов.
$Q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt$
Ответ: Определённый интеграл от силы тока по времени равен заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за этот промежуток времени.

Общий вывод:
Физический смысл определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ состоит в вычислении конечного значения физической величины, которая накапливается или суммируется на отрезке $[a, b]$, если $f(x)$ представляет собой "плотность" или "скорость" этой величины по отношению к переменной $x$.
Ответ: Физический смысл определённого интеграла — это нахождение суммарного значения величины по её известной скорости изменения или плотности распределения.

4. Запишите формулу Ньютона – Лейбница для вычисления определённого интеграла.

4. Формула Ньютона — Лейбница, также известная как основная теорема анализа, устанавливает связь между определённым интегралом и первообразной подынтегральной функции. Она является основным инструментом для вычисления определённых интегралов.

Формулировка теоремы:
Если функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, а функция $y=F(x)$ является одной из её первообразных на этом отрезке (то есть $F'(x)=f(x)$ для всех $x \in [a, b]$), то определённый интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ равен разности значений первообразной на концах этого отрезка.

Запись формулы:
Математически это выражается следующей формулой: $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $$ Разность $F(b) - F(a)$ также принято записывать с помощью вертикальной черты, что называется подстановкой Ньютона — Лейбница: $$ \left. F(x) \right|_{a}^{b} $$ Таким образом, формулу для вычисления можно записать в более полном виде: $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \left. F(x) \right|_{a}^{b} = F(b) - F(a) $$
Ответ: $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ — это первообразная для непрерывной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$.

5. Примените формулу Ньютона – Лейбница для вычисления интеграла:

a) $\int_1^e \frac{dx}{x}$;

б) $\int_1^2 \frac{dx}{x^2}$;

в) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$;

г) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x dx$;

д) $\int_1^3 3x^2 dx$.

а)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{e} \frac{dx}{x}$ используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x}$.

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$. Поскольку пределы интегрирования $1$ и $e$ положительны, модуль можно опустить.

Подставляем пределы интегрирования $a=1$ и $b=e$:

$\int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = [\ln x]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1)$.

Так как натуральный логарифм основания $e$ равен $1$ ($\ln(e) = 1$) и логарифм единицы равен нулю ($\ln(1) = 0$), получаем:

$1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2}$.

Подынтегральную функцию можно записать в виде степени: $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

Найдем первообразную, используя формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=2$:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2} = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \sin x$.

Первообразная для $f(x) = \sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=0$ и $b=\frac{\pi}{2}$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0))$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$(-0) - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

г)

Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \cos x$.

Первообразная для $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=\frac{\pi}{2}$ и $b=\frac{3\pi}{2}$:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})$.

Так как $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$-1 - 1 = -2$.

Ответ: $-2$.

д)

Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} 3x^2 dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 3x^2$.

Найдем первообразную, используя формулу для степенной функции:

$F(x) = \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=3$:

$\int_{1}^{3} 3x^2 dx = [x^3]_{1}^{3} = 3^3 - 1^3$.

Выполним вычисления:

$27 - 1 = 26$.

Ответ: $26$.

6. Что такое криволинейная трапеция?

Криволинейная трапеция — это плоская фигура на координатной плоскости $Oxy$, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс (прямой $y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Чтобы фигура считалась криволинейной трапецией, должны выполняться следующие условия:
1. Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на отрезке $[a, b]$. Это означает, что ее график на этом отрезке представляет собой сплошную линию без разрывов.
2. Функция $f(x)$ должна быть неотрицательной на отрезке $[a, b]$, то есть $f(x) \geq 0$ для всех $x$ из этого отрезка. Это означает, что график функции расположен не ниже оси $x$.

Таким образом, криволинейная трапеция ограничена четырьмя линиями:
• Сверху — графиком функции $y=f(x)$.
• Снизу — отрезком оси абсцисс $[a, b]$.
• Слева и справа — отрезками вертикальных прямых $x=a$ и $x=b$ (где $a < b$).

Понятие криволинейной трапеции является фундаментальным в интегральном исчислении, поскольку ее площадь представляет собой геометрический смысл определенного интеграла. Площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Например, фигура, ограниченная графиком функции $y=x^2+1$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=2$, является криволинейной трапецией. Здесь $f(x)=x^2+1$, $a=0$, $b=2$. Функция непрерывна и положительна на отрезке $[0, 2]$. Площадь этой фигуры будет равна $\int_{0}^{2} (x^2+1) \,dx$.

Ответ: Криволинейная трапеция — это фигура на плоскости, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Площадь такой фигуры вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

7. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$, $y = f(x)$, где $y = f(x)$ — непрерывная неотрицательная функция на отрезке $[3; 5]$?

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a; b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Это является геометрическим смыслом определенного интеграла.

Для вычисления площади используется формула Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — любая первообразная для функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ (то есть такая функция, что ее производная $F'(x) = f(x)$).

В условиях данной задачи криволинейная трапеция ограничена линиями:

• $y = f(x)$ — сверху (по условию, функция неотрицательна, $f(x) \ge 0$)
• $y = 0$ (ось Ox) — снизу
• $x = 3$ — левая граница
• $x = 5$ — правая граница

Следовательно, пределы интегрирования в формуле Ньютона-Лейбница равны $a = 3$ и $b = 5$.

Алгоритм вычисления площади будет следующим:

1. Найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.
2. Вычислить значение первообразной в точке верхнего предела интегрирования: $F(5)$.
3. Вычислить значение первообразной в точке нижнего предела интегрирования: $F(3)$.
4. Найти разность этих значений: $S = F(5) - F(3)$.

Таким образом, площадь фигуры равна значению определенного интеграла от функции $f(x)$ в пределах от 3 до 5.

Ответ: Площадь данной криволинейной трапеции вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$.

8. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y=0$, $x=3$, $x=5$, $y=f(x)$, где $y=f(x)$ — непрерывная неположительная функция на отрезке $[3; 5]$?

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Площадь $S$ такой фигуры, в случае если функция $f(x)$ является непрерывной и неотрицательной ($f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В условиях данной задачи криволинейная трапеция ограничена линиями $y=f(x)$, $y=0$, $x=3$ и $x=5$. Однако ключевым моментом является то, что функция $y=f(x)$ на отрезке $[3; 5]$ является неположительной, то есть $f(x) \le 0$ для всех $x \in [3; 5]$. Это означает, что график функции расположен ниже оси абсцисс или касается её.

Поскольку площадь фигуры не может быть отрицательной величиной, а значение определенного интеграла $\int_{3}^{5} f(x) \,dx$ для неположительной функции будет неположительным числом (то есть $\le 0$), для корректного вычисления площади необходимо взять абсолютное значение этого интеграла. Для неположительного числа это равносильно взятию интеграла с противоположным знаком.

Геометрически это можно объяснить так: площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной ей относительно оси $Ox$. Эта симметричная фигура будет ограничена графиком функции $y = -f(x)$. Поскольку $f(x) \le 0$, то функция $-f(x)$ будет неотрицательной ($-f(x) \ge 0$), и её площадь можно вычислить по стандартной формуле: $S = \int_{3}^{5} (-f(x)) \,dx = - \int_{3}^{5} f(x) \,dx$

Следовательно, для вычисления площади криволинейной трапеции, график функции которой лежит ниже оси абсцисс, необходимо вычислить определенный интеграл от этой функции по соответствующему отрезку и взять полученное значение со знаком минус.

Ответ: Площадь данной криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = - \int_{3}^{5} f(x) \,dx$.

9. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $x = 3$, $x = 5$, $y = f(x)$, $y = g(x)$, где $y = f(x)$, $y = g(x)$ — непрерывные функции на отрезке $[3; 5]$, причём на этом отрезке выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$?

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, используется определённый интеграл. Фигура представляет собой криволинейную трапецию.

Вертикальные прямые $x=3$ и $x=5$ определяют пределы интегрирования, то есть интегрирование будет производиться по отрезку $[3; 5]$.

Из условия задачи известно, что на отрезке $[3; 5]$ выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$. Это означает, что график функции $y=g(x)$ является верхней границей искомой фигуры, а график функции $y=f(x)$ — её нижней границей.

Площадь $S$ фигуры, заключённой между графиками двух непрерывных функций $y=g(x)$ (сверху) и $y=f(x)$ (снизу) на отрезке $[a, b]$, вычисляется по общей формуле:
$S = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \,dx$

Эта формула выражает идею о том, что искомая площадь равна площади под "верхней" кривой минус площадь под "нижней" кривой.

Применяя данную формулу к условиям задачи, где $a=3$ и $b=5$, получаем выражение для вычисления площади:
$S = \int_{3}^{5} (g(x) - f(x)) \,dx$

Ответ: Площадь указанной криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = \int_{3}^{5} (g(x) - f(x)) \,dx$.

Решите неравенство:

28.16. а) $\log_9(x^2 - 10x + 40) \le \log_9(4x - 8);$

б) $\log_{0,7}(9x - 4x^2) \ge \log_{0,7}(x^3 + 4x^2);$

в) $\log_{\sqrt{2}} \frac{x - 2}{2x - 4} < \log_{\sqrt{2}} \frac{x + 1}{x + 2};$

г) $\log_{\frac{1}{3}} (5x - 4) < \log_{\frac{1}{3}} x^2.$

а) $log_9(x^2 - 10x + 40) \le log_9(4x - 8)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$\begin{cases} x^2 - 10x + 40 > 0 \\ 4x - 8 > 0 \end{cases}$

Для первого неравенства $x^2 - 10x + 40 > 0$ найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 100 - 160 = -60$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то квадратный трехчлен положителен при любых значениях $x$.

Для второго неравенства $4x - 8 > 0$:
$4x > 8$
$x > 2$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $9 > 1$, то функция $y=log_9(t)$ является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 10x + 40 \le 4x - 8$
$x^2 - 10x - 4x + 40 + 8 \le 0$
$x^2 - 14x + 48 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 48 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 14$ и $x_1 \cdot x_2 = 48$. Корни равны $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.
Парабола $y = x^2 - 14x + 48$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 14x + 48 \le 0$ выполняется между корнями: $6 \le x \le 8$.

3. Совместим решение с ОДЗ. Найдем пересечение множеств $x \in [6; 8]$ и $x \in (2; +\infty)$.
Решением является интервал $[6; 8]$.

Ответ: $[6; 8]$.

б) $log_{0,7}(9x - 4x^2) \ge log_{0,7}(x^3 + 4x^2)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 9x - 4x^2 > 0 \\ x^3 + 4x^2 > 0 \end{cases}$

Для первого неравенства $9x - 4x^2 > 0 \implies x(9 - 4x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=9/4$. Парабола ветвями вниз, значит, решение $x \in (0; 9/4)$.

Для второго неравенства $x^3 + 4x^2 > 0 \implies x^2(x + 4) > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то неравенство выполняется, когда $x+4>0$ и $x \ne 0$. То есть $x > -4$ и $x \ne 0$, что дает $x \in (-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (0; 9/4)$.

2. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $0,7 < 1$, то функция $y=log_{0,7}(t)$ является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$9x - 4x^2 \le x^3 + 4x^2$
$0 \le x^3 + 8x^2 - 9x$
$x(x^2 + 8x - 9) \ge 0$

Найдем корни $x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, $x_1=-9$, $x_2=1$.
Неравенство принимает вид $x(x - 1)(x + 9) \ge 0$.
Решим методом интервалов. Корни: $-9, 0, 1$.
Решение неравенства: $x \in [-9; 0] \cup [1; +\infty)$.

3. Совместим решение с ОДЗ. Найдем пересечение $x \in (0; 9/4)$ и $x \in [-9; 0] \cup [1; +\infty)$.
Пересечение $ (0; 9/4) \cap ([-9; 0] \cup [1; +\infty)) $ равно $[1; 9/4)$.

Ответ: $[1; 9/4)$.

в) $log_{\sqrt{2}}\frac{x - 2}{2x - 4} < log_{\sqrt{2}}\frac{x + 1}{x + 2}$

1. Упростим левую часть. Заметим, что $\frac{x-2}{2x-4} = \frac{x-2}{2(x-2)} = \frac{1}{2}$ при условии, что $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$.
Неравенство принимает вид: $log_{\sqrt{2}}(\frac{1}{2}) < log_{\sqrt{2}}\frac{x + 1}{x + 2}$

2. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны.
$\begin{cases} \frac{1}{2} > 0 \\ \frac{x + 1}{x + 2} > 0 \\ x \ne 2 \end{cases}$

Первое неравенство всегда верно. Решим второе неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-1$ и $x=-2$.
Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$.
С учетом $x \ne 2$, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $\sqrt{2} \approx 1.41 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\frac{1}{2} < \frac{x + 1}{x + 2}$
$\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{1}{2} > 0$
$\frac{2(x + 1) - 1(x + 2)}{2(x + 2)} > 0$
$\frac{2x + 2 - x - 2}{2(x + 2)} > 0$
$\frac{x}{2(x + 2)} > 0$
$\frac{x}{x + 2} > 0$
Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

4. Совместим решение с ОДЗ. Найдем пересечение $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ и $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.
Результат: $(-\infty; -2) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

г) $log_{\frac{1}{3}}(5x - 4) < log_{\frac{1}{3}}x^2$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 5x - 4 > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $5x > 4 \implies x > 4/5$.
Из второго неравенства: $x \ne 0$.
ОДЗ: $x \in (4/5; +\infty)$.

2. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $1/3 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$5x - 4 > x^2$
$0 > x^2 - 5x + 4$
$x^2 - 5x + 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1=1, x_2=4$.
Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 4 < 0$ выполняется между корнями: $1 < x < 4$.

3. Совместим решение с ОДЗ. Найдем пересечение $x \in (1; 4)$ и $x \in (4/5; +\infty)$.
Так как $4/5 = 0.8$, то интервал $(1; 4)$ полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(1; 4)$.

28.17. a) $(x^2 - 6x)^5 \ge (2x - 7)^5;$

б) $(x^2 - 2x)^9 \le (2x - x^2 - 2)^9;$

в) $(x^2 - 10)^{11} < (5 - 2x)^{11};$

г) $(6x^2 - 4x - 2)^7 > (x^2 + 3x + 10)^7.$

а) $(x^2 - 6x)^5 \ge (2x - 7)^5$

Поскольку функция $y=t^n$ при нечетном $n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно неравенству для оснований степеней:

$x^2 - 6x \ge 2x - 7$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 6x - 2x + 7 \ge 0$

$x^2 - 8x + 7 \ge 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая концы).

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

б) $(x^2 - 2x)^9 \le (2x - x^2 - 2)^9$

Так как показатель степени 9 — нечетное число, неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 2x \le 2x - x^2 - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 2x + x^2 + 2 \le 0$

$2x^2 - 4x + 2 \le 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - 2x + 1 \le 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x - 1)^2 = 0$.

Это равенство верно при $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Ответ: $1$.

в) $(x^2 - 10)^{11} < (5 - 2x)^{11}$

Показатель степени 11 является нечетным, поэтому неравенство эквивалентно неравенству для оснований:

$x^2 - 10 < 5 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x - 10 - 5 < 0$

$x^2 + 2x - 15 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -15. Корни равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется, когда $x$ находится строго между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-5 < x < 3$.

Ответ: $(-5, 3)$.

г) $(6x^2 - 4x - 2)^7 > (x^2 + 3x + 10)^7$

Поскольку показатель степени 7 — нечетное число, неравенство равносильно неравенству:

$6x^2 - 4x - 2 > x^2 + 3x + 10$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$6x^2 - x^2 - 4x - 3x - 2 - 10 > 0$

$5x^2 - 7x - 12 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 7x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289 = 17^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{24}{10} = 2.4$

Графиком функции $y = 5x^2 - 7x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2.4$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (2.4, \infty)$.

28.18. a) $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6;$

б) $(2 \cdot 0.1^x + 3)^{10} \le (0.1^x + 103)^{10};$

в) $(3 - 3 \log_{0.2} x)^{13} < (\log_{0.2} x + 7)^{13};$

г) $(3 \log_7 x - 24)^5 > (2 \log_7 x - 22)^5.$

а)

Дано неравенство $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6$.

Поскольку показатель степени 6 — четное число, это неравенство равносильно неравенству $|2^{x+1} + 1| \ge |2^x + 17|$.

Заметим, что показательная функция $2^x$ всегда положительна ($2^x > 0$). Следовательно, выражения в скобках всегда положительны: $2^{x+1} + 1 > 0$ и $2^x + 17 > 0$. Это позволяет нам опустить знаки модуля.

$2^{x+1} + 1 \ge 2^x + 17$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, перепишем $2^{x+1}$ как $2 \cdot 2^x$:

$2 \cdot 2^x + 1 \ge 2^x + 17$

Сгруппируем члены с $2^x$ в левой части, а константы — в правой:

$2 \cdot 2^x - 2^x \ge 17 - 1$

$2^x \ge 16$

Представим 16 как степень числа 2:

$2^x \ge 2^4$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

б)

Дано неравенство $(2 \cdot 0,1^x + 3)^{10} \le (0,1^x + 103)^{10}$.

Показатель степени 10 — четное число. Следовательно, неравенство равносильно $|2 \cdot 0,1^x + 3| \le |0,1^x + 103|$.

Так как $0,1^x > 0$ для любого действительного $x$, оба выражения в скобках всегда положительны. Значит, знаки модуля можно убрать:

$2 \cdot 0,1^x + 3 \le 0,1^x + 103$

Выполним преобразования:

$2 \cdot 0,1^x - 0,1^x \le 103 - 3$

$0,1^x \le 100$

Представим обе части неравенства как степени числа 10. Учитывая, что $0,1 = 10^{-1}$ и $100 = 10^2$:

$(10^{-1})^x \le 10^2$

$10^{-x} \le 10^2$

Основание степени $10 > 1$, поэтому показательная функция возрастает. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$-x \le 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge -2$

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

в)

Дано неравенство $(3 - 3\log_{0,2} x)^{13} < (\log_{0,2} x + 7)^{13}$.

Поскольку показатель степени 13 — нечетное число, функция $y=u^{13}$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для оснований степеней:

$3 - 3\log_{0,2} x < \log_{0,2} x + 7$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Для решения неравенства введем замену $t = \log_{0,2} x$:

$3 - 3t < t + 7$

$-3t - t < 7 - 3$

$-4t < 4$

$t > -1$

Вернемся к исходной переменной:

$\log_{0,2} x > -1$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,2: $-1 = \log_{0,2} (0,2)^{-1} = \log_{0,2} 5$.

$\log_{0,2} x > \log_{0,2} 5$

Так как основание логарифма $0,2 \in (0, 1)$, логарифмическая функция $y=\log_{0,2}t$ является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x < 5$

Объединим полученное решение с ОДЗ ($x > 0$):

$0 < x < 5$

Ответ: $x \in (0; 5)$.

г)

Дано неравенство $(3\log_7 x - 24)^5 > (2\log_7 x - 22)^5$.

Показатель степени 5 — нечетное число, поэтому функция $y=u^5$ является строго возрастающей. Неравенство равносильно следующему:

$3\log_7 x - 24 > 2\log_7 x - 22$

ОДЗ логарифма: $x > 0$.

Введем замену $t = \log_7 x$:

$3t - 24 > 2t - 22$

$3t - 2t > 24 - 22$

$t > 2$

Выполним обратную замену:

$\log_7 x > 2$

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 7: $2 = \log_7 7^2 = \log_7 49$.

$\log_7 x > \log_7 49$

Так как основание логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция $y=\log_7 t$ является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 49$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (49; +\infty)$.

a) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} \ge 0$;

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} < 0$.

Для решения данного показательного неравенства сначала преобразуем его, приведя степени к одному основанию.

Перенесем член $-8^{x+1}$ в правую часть неравенства:

$2^{x^2+3} \ge 8^{x+1}$

Представим число 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.

$2^{x^2+3} \ge (2^3)^{x+1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:

$2^{x^2+3} \ge 2^{3(x+1)}$

$2^{x^2+3} \ge 2^{3x+3}$

Поскольку основание степени $2 > 1$, мы можем перейти от неравенства для степеней к неравенству для их показателей, сохраняя знак неравенства:

$x^2 + 3 \ge 3x + 3$

Теперь решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 3x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-3) \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x-3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Нанесем корни на числовую ось и определим знаки выражения $x(x-3)$ в полученных интервалах (метод интервалов). Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках 0 и 3. Следовательно, выражение неотрицательно на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.

Для решения данного показательного неравенства также приведем степени к одному основанию.

Перенесем член $-3^{x^2-1}$ в правую часть:

$27^{5-x^2} < 3^{x^2-1}$

Представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$(3^3)^{5-x^2} < 3^{x^2-1}$

Упростим левую часть по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3(5-x^2)} < 3^{x^2-1}$

$3^{15-3x^2} < 3^{x^2-1}$

Поскольку основание степени $3 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:

$15 - 3x^2 < x^2 - 1$

Решим полученное квадратное неравенство. Перенесем все члены с $x^2$ в одну сторону, а константы в другую:

$15 + 1 < x^2 + 3x^2$

$16 < 4x^2$

Разделим обе части на 4:

$4 < x^2$

Это эквивалентно неравенству $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) > 0$

Корни соответствующего уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Используя метод интервалов (или анализируя параболу $y = x^2 - 4$ с ветвями вверх), находим, что выражение положительно на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

28.20. a) $ (\sqrt{3})^{\text{tg } x} \le \frac{3\sqrt{3}}{3^{\text{tg } x}}; $

б) $ (\sqrt{2})^{2 \cos x} > \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}. $

а) $(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg} x$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь преобразуем обе части неравенства к основанию 3.
Левая часть: $(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} = (3^{1/2})^{\operatorname{tg} x} = 3^{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x}$.
Правая часть: $\frac{3 \sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^1 \cdot 3^{1/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^{3/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = 3^{\frac{3}{2} - \operatorname{tg} x}$.

Неравенство принимает вид:
$3^{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x} \leqslant 3^{\frac{3}{2} - \operatorname{tg} x}$

Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей степени, сохранив знак неравенства:
$\frac{1}{2}\operatorname{tg} x \leqslant \frac{3}{2} - \operatorname{tg} x$

Решим это неравенство относительно $\operatorname{tg} x$.
$\frac{1}{2}\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x \leqslant \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}\operatorname{tg} x \leqslant \frac{3}{2}$
$\operatorname{tg} x \leqslant 1$

Теперь решим простейшее тригонометрическое неравенство $\operatorname{tg} x \leqslant 1$ с учетом ОДЗ.
Период функции $\operatorname{tg} x$ равен $\pi$. Рассмотрим решение на одном периоде, например, в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
В этом интервале $\operatorname{tg} x$ возрастает. Найдем, когда $\operatorname{tg} x = 1$, это происходит при $x = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ неравенство $\operatorname{tg} x \leqslant 1$ выполняется при $-\frac{\pi}{2} < x \leqslant \frac{\pi}{4}$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{2})^{2 \cos x} > \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}$

ОДЗ для этого неравенства - все действительные числа, так как функция $\cos x$ определена для любого $x \in \mathbb{R}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.
Левая часть: $(\sqrt{2})^{2 \cos x} = (2^{1/2})^{2 \cos x} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos x} = 2^{\cos x}$.
Правая часть: $\frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^{1+\cos x}} = 2^{-(1+\cos x)} = 2^{-1-\cos x}$.

Неравенство принимает вид:
$2^{\cos x} > 2^{-1-\cos x}$

Так как основание степени $2 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей степени, сохранив знак неравенства:
$\cos x > -1 - \cos x$

Решим это неравенство относительно $\cos x$.
$\cos x + \cos x > -1$
$2 \cos x > -1$
$\cos x > -\frac{1}{2}$

Теперь решим простейшее тригонометрическое неравенство $\cos x > -\frac{1}{2}$.
Найдем значения $x$, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$. Это происходит при $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используя тригонометрическую окружность, видим, что $\cos x$ (абсцисса точки на окружности) больше, чем $-\frac{1}{2}$, для углов, лежащих в интервале от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
Учитывая периодичность функции $\cos x$ (период $2\pi$), общее решение неравенства:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решите неравенство методом введения новой переменной:

28.21. а) $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 \geq 0$;

б) $2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 \leq 0$.

а) $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 \ge 0$

Данное неравенство является показательным. Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Это позволяет свести неравенство к квадратному с помощью введения новой переменной.

Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную накладывается ограничение: $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное неравенство:

$t^2 - 2t - 3 \ge 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Используем теорему Виета:

$t_1 + t_2 = 2$

$t_1 \cdot t_2 = -3$

Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Графиком функции $y = t^2 - 2t - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $t^2 - 2t - 3 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится за пределами корней, включая сами корни:

$t \le -1$ или $t \ge 3$.

Теперь учтем ограничение $t > 0$. Из двух полученных промежутков этому условию удовлетворяет только $t \ge 3$.

Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $3^x$:

$3^x \ge 3$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3:

$3^x \ge 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge 1$

Решением неравенства является промежуток $[1, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) $2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 \le 0$

Это показательное неравенство. Преобразуем его, заметив, что $5^{2x} = (5^x)^2$.

$2 \cdot (5^x)^2 - 5^x - 1 \le 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид:

$2t^2 - t - 1 \le 0$

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $2t^2 - t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 2t^2 - t - 1$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $2t^2 - t - 1 \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями, включая сами корни:

$-\frac{1}{2} \le t \le 1$

Учтем ограничение $t > 0$. Объединяя два условия, получаем:

$0 < t \le 1$

Выполним обратную замену:

$0 < 5^x \le 1$

Неравенство $5^x > 0$ выполняется для всех действительных $x$. Остается решить неравенство $5^x \le 1$.

Представим 1 как степень с основанием 5:

$5^x \le 5^0$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 0$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

28.22. a) $3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5;$

б) $2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \ge 2,8.$

а)

Дано неравенство $3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(3^1 \cdot 3^x) \cdot (2^1 \cdot 2^{-x}) + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

$6 \cdot 3^x \cdot 2^{-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

Вынесем общий множитель $3^x \cdot 2^{-x}$ за скобки:

$(6+1) \cdot 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

$7 \cdot \frac{3^x}{2^x} \le 10,5$

$7 \cdot (\frac{3}{2})^x \le 10,5$

Разделим обе части неравенства на 7:

$(\frac{3}{2})^x \le \frac{10,5}{7}$

$(\frac{3}{2})^x \le 1,5$

Представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$:

$(\frac{3}{2})^x \le (\frac{3}{2})^1$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция $y = (\frac{3}{2})^x$ является возрастающей. Поэтому при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x \le 1$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б)

Дано неравенство $2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \ge 2,8$.

Преобразуем левую часть неравенства по аналогии с предыдущим пунктом:

$2^x \cdot (5^1 \cdot 5^{-x}) + (2^x \cdot 2^1) \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

$5 \cdot 2^x \cdot 5^{-x} + 2 \cdot 2^x \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

Вынесем общий множитель $2^x \cdot 5^{-x}$ за скобки:

$(5+2) \cdot 2^x \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

$7 \cdot \frac{2^x}{5^x} \ge 2,8$

$7 \cdot (\frac{2}{5})^x \ge 2,8$

Разделим обе части неравенства на 7:

$(\frac{2}{5})^x \ge \frac{2,8}{7}$

$(\frac{2}{5})^x \ge 0,4$

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$:

$(\frac{2}{5})^x \ge (\frac{2}{5})^1$

Так как основание степени $0 < \frac{2}{5} < 1$, показательная функция $y = (\frac{2}{5})^x$ является убывающей. Поэтому при сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 1$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

28.23. a) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 > 0;$

б) $\sqrt[5]{x} - 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0.$

a) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 > 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в неравенстве присутствует корень четной степени $\sqrt[6]{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех действительных $x$. Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in [0, +\infty)$.

2. Сделаем замену переменной. Заметим, что $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{1/6}$, причем $x^{1/3} = (x^{1/6})^2$. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как $x \ge 0$, то и $t \ge 0$.

3. Подставим новую переменную в исходное неравенство. Оно примет вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - t - 2 > 0$

4. Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$

$t_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Графиком функции $y = t^2 - t - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $t^2 - t - 2 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t < -1$ или $t > 2$.

5. Теперь учтем условие $t \ge 0$, которое следует из замены. Составим систему:

$\begin{cases} t < -1 \text{ или } t > 2 \\ t \ge 0 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает нам единственное решение для $t$: $t > 2$.

6. Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} > 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части неравенства в шестую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохранится:

$(\sqrt[6]{x})^6 > 2^6$

$x > 64$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in (64, +\infty)$.

б) $\sqrt[5]{x} - 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt[10]{x}$ определено для $x \ge 0$. Выражение $\sqrt[5]{x}$ определено для всех действительных $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Сделаем замену переменной. Заметим, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$. Пусть $t = \sqrt[10]{x}$. Учитывая ОДЗ, имеем $t \ge 0$.

3. Подставим новую переменную в неравенство:

$t^2 - 6t + 8 < 0$

4. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 6$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Отсюда корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Графиком функции $y = t^2 - 6t + 8$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $t^2 - 6t + 8 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями: $2 < t < 4$.

5. Учтем условие $t \ge 0$. Система $\begin{cases} 2 < t < 4 \\ t \ge 0 \end{cases}$ имеет решение $2 < t < 4$.

6. Выполним обратную замену:

$2 < \sqrt[10]{x} < 4$

Чтобы найти $x$, возведем все части двойного неравенства в десятую степень. Так как все части положительны, знаки неравенства сохранятся:

$2^{10} < (\sqrt[10]{x})^{10} < 4^{10}$

$1024 < x < (2^2)^{10}$

$1024 < x < 2^{20}$

Вычислим $2^{20}$: $2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576$.

Таким образом, получаем $1024 < x < 1048576$.

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in (1024, 1048576)$.

○28.24.

a) $3^x + 3^{-x+1} \leq 4$;

б) $25^{-x} - 50 > 5^{-x+1}$.

а) $3^x + 3^{-x+1} \leq 4$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3^x + 3^{-x} \cdot 3^1 \leq 4$

$3^x + \frac{3}{3^x} \leq 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим $t$ в неравенство:

$t + \frac{3}{t} \leq 4$

Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:

$t^2 + 3 \leq 4t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$t^2 - 4t + 3 \leq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 4t + 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ выполняется между корнями (включая их):

$1 \leq t \leq 3$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 3^x$:

$1 \leq 3^x \leq 3$

Представим 1 и 3 в виде степени с основанием 3:

$3^0 \leq 3^x \leq 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к показателям степени знаки неравенства сохраняются:

$0 \leq x \leq 1$

Ответ: $x \in [0; 1]$.

б) $25^{-x} - 50 > 5^{-x+1}$

Преобразуем неравенство, приведя степени к одному основанию 5:

$(5^2)^{-x} - 50 > 5^{-x} \cdot 5^1$

$(5^{-x})^2 - 50 > 5 \cdot 5^{-x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 5^{-x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Подставим $y$ в неравенство:

$y^2 - 50 > 5y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$y^2 - 5y - 50 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 5y - 50 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{5 \pm 15}{2}$

Корни равны $y_1 = \frac{5 - 15}{2} = -5$ и $y_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10$.

Парабола $z = y^2 - 5y - 50$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y^2 - 5y - 50 > 0$ выполняется вне интервала между корнями:

$y < -5$ или $y > 10$.

Учитывая условие $y > 0$, нам подходит только решение $y > 10$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $y = 5^{-x}$:

$5^{-x} > 10$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $f(t)=\log_5 t$ является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$\log_5(5^{-x}) > \log_5(10)$

$-x > \log_5(10)$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x < -\log_5(10)$

Ответ: $x \in (-\infty; -\log_5(10))$.

28.25. a) $\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 < 0;$

б) $3 \log_{\frac{1}{3}}^2 x - 10 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \geq 0.$

а)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 < 0$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому $x > 0$.

2. Это неравенство является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство принимает вид: $t^2 - 7t + 12 < 0$.

3. Решим полученное квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Графиком функции $y = t^2 - 7t + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше нуля находятся между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$: $3 < t < 4$.

4. Выполним обратную замену, подставив $t = \log_2 x$: $3 < \log_2 x < 4$.

5. Решим это двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y=\log_2 x$ является возрастающей. При потенцировании по основанию 2 знаки неравенства сохраняются: $2^3 < x < 2^4$ $8 < x < 16$.

6. Полученный интервал $(8; 16)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (8; 16)$.

б)

Дано логарифмическое неравенство: $3 \log_{1/3}^2 x - 10 \log_{1/3} x + 3 \ge 0$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

2. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{1/3} x$. Неравенство примет вид: $3t^2 - 10t + 3 \ge 0$.

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$. Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни: $t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$. $t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. $t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Графиком функции $y = 3t^2 - 10t + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда переменная $t$ находится за пределами интервала между корнями (включая сами корни). Таким образом, $t \le \frac{1}{3}$ или $t \ge 3$.

4. Выполним обратную замену $t = \log_{1/3} x$: $\log_{1/3} x \le \frac{1}{3}$ или $\log_{1/3} x \ge 3$.

5. Решим полученную совокупность неравенств. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1, поэтому функция $y = \log_{1/3} x$ является убывающей. При потенцировании по основанию $\frac{1}{3}$ знаки неравенств меняются на противоположные.

Для первого неравенства $\log_{1/3} x \le \frac{1}{3}$: $x \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}$ $x \ge \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Для второго неравенства $\log_{1/3} x \ge 3$: $x \le \left(\frac{1}{3}\right)^3$ $x \le \frac{1}{27}$.

6. Совместим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$). Из $x \le \frac{1}{27}$ и $x>0$ получаем $0 < x \le \frac{1}{27}$. Решение $x \ge \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ уже удовлетворяет ОДЗ.

Общим решением является объединение этих двух множеств.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{27}] \cup [\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; +\infty)$.