Номер 3, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. В чём состоит физический смысл определённого интеграла?

Физический смысл определённого интеграла заключается в нахождении итогового значения некоторой физической величины путём суммирования её бесконечно малых приращений. Если подынтегральная функция $f(x)$ описывает скорость изменения (или плотность распределения) некоторой физической величины $Y$ в зависимости от другой величины $x$, то определённый интеграл от $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ даёт полное изменение (или суммарное значение) величины $Y$ на этом отрезке.

Рассмотрим это на конкретных примерах из разных разделов физики.

1. Путь, пройденный телом при неравномерном движении
Пусть тело движется вдоль прямой, и его скорость $v$ является функцией времени $t$, то есть $v = v(t)$. Скорость — это быстрота изменения координаты (пути). За очень малый промежуток времени $dt$ тело пройдёт очень малый путь $ds$, который можно считать пройденным с постоянной скоростью $v(t)$. Таким образом, $ds = v(t) \cdot dt$. Чтобы найти путь $S$, пройденный телом за конечный промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо просуммировать все эти элементарные пути $ds$. Эта операция суммирования и есть интегрирование.
$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$
Ответ: Определённый интеграл от скорости по времени равен пути, пройденному телом за этот промежуток времени.

2. Работа переменной силы
Пусть тело перемещается под действием силы $F$, которая меняется в зависимости от положения тела $x$, то есть $F = F(x)$. Работа, по определению, равна произведению силы на перемещение. Если сила переменная, то на очень малом перемещении $dx$ можно считать её постоянной и равной $F(x)$. Элементарная работа $dA$, совершённая на этом перемещении, равна $dA = F(x) \cdot dx$. Полная работа $A$, совершённая силой при перемещении тела из точки $x_1$ в точку $x_2$, будет равна сумме всех элементарных работ.
$A = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$
Ответ: Определённый интеграл от силы по перемещению равен работе, совершённой этой силой.

3. Масса неоднородного стержня
Рассмотрим тонкий стержень, расположенный вдоль оси $Ox$ от $x=a$ до $x=b$. Пусть его плотность неоднородна и зависит от координаты, то есть линейная плотность (масса на единицу длины) есть функция $\rho = \rho(x)$. Выделим малый участок стержня длиной $dx$. Его массу $dm$ можно найти, умножив плотность в этой точке на длину участка: $dm = \rho(x) \cdot dx$. Чтобы найти массу $m$ всего стержня, нужно просуммировать массы всех таких малых участков.
$m = \int_{a}^{b} \rho(x) dx$
Ответ: Определённый интеграл от линейной плотности по длине равен массе тела.

4. Заряд, прошедший через проводник
Пусть по проводнику течёт переменный ток, сила которого $I$ зависит от времени $t$, то есть $I = I(t)$. Сила тока — это скорость прохождения заряда через поперечное сечение проводника ($I = dQ/dt$). За малый промежуток времени $dt$ через сечение пройдёт малый заряд $dQ = I(t) \cdot dt$. Полный заряд $Q$, прошедший через сечение проводника за время от $t_1$ до $t_2$, равен сумме всех элементарных зарядов.
$Q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt$
Ответ: Определённый интеграл от силы тока по времени равен заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за этот промежуток времени.

Общий вывод:
Физический смысл определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ состоит в вычислении конечного значения физической величины, которая накапливается или суммируется на отрезке $[a, b]$, если $f(x)$ представляет собой "плотность" или "скорость" этой величины по отношению к переменной $x$.
Ответ: Физический смысл определённого интеграла — это нахождение суммарного значения величины по её известной скорости изменения или плотности распределения.