Номер 6, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Что такое неопределённый интеграл от функции $y = f(x)$?

Неопределённый интеграл от функции $y = f(x)$ — это выражение, которое описывает совокупность всех её первообразных. Для полного понимания этого определения необходимо сначала рассмотреть понятие первообразной.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для любой точки $x$ из этого промежутка производная функции $F(x)$ равна $f(x)$. Математически это записывается так:

$F'(x) = f(x)$

Например, для функции $f(x) = 2x$ одной из первообразных будет функция $F(x) = x^2$, так как $(x^2)' = 2x$.

Однако, если мы возьмём производную от функции $F(x) = x^2 + 5$, мы получим тот же результат: $(x^2 + 5)' = 2x + 0 = 2x$. То же самое верно для любой постоянной $C$. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также является первообразной для $f(x)$, поскольку производная константы равна нулю:

$(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$

Таким образом, у функции существует бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную. Совокупность всех этих первообразных и называется неопределённым интегралом и обозначается следующим образом:

$\int f(x) \,dx = F(x) + C$

В этой записи:

• $\int$ — это знак интеграла.
• $f(x)$ — подынтегральная функция (функция, от которой мы находим интеграл).
• $dx$ — дифференциал переменной интегрирования, который указывает, по какой переменной производится интегрирование.
• $F(x)$ — одна из первообразных для $f(x)$.
• $C$ — произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Операция нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием. Эта операция является обратной по отношению к дифференцированию (нахождению производной).

Геометрический смысл: неопределённый интеграл $\int f(x) \,dx$ представляет собой семейство кривых $y = F(x) + C$. Все эти кривые получаются из одной (графика $y = F(x)$) сдвигом вдоль оси ординат $Oy$. Угловой коэффициент касательной, проведённой к любой из этих кривых в точке с абсциссой $x_0$, равен значению подынтегральной функции в этой точке, то есть $f(x_0)$.

Ответ: Неопределённый интеграл от функции $f(x)$ — это совокупность всех её первообразных, которая имеет вид $F(x) + C$, где $F(x)$ — любая из первообразных (то есть функция, для которой $F'(x) = f(x)$), а $C$ — произвольная постоянная. Записывается это как $\int f(x) \,dx = F(x) + C$.