Номер 3, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Замечательное число $e$.

Число e, также известное как число Эйлера или число Непера, является одной из важнейших математических констант, наряду с $π$ и мнимой единицей $i$. Это иррациональное и трансцендентное число, играющее ключевую роль в математическом анализе, теории вероятностей, финансовой математике и многих других областях науки.

Приблизительное значение числа e: $e \approx 2.718281828459045...$

Определения числа e

Существует несколько эквивалентных способов определения числа e. Наиболее известные из них:

1. Через предел (Второй замечательный предел). Число e определяется как предел последовательности, которая возникает при рассмотрении задачи о непрерывном начислении процентов:

   $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

   Этот предел описывает максимальный возможный рост капитала при 100% годовой ставке, если проценты начисляются непрерывно (бесконечное число раз в год).

2. Через сумму бесконечного ряда. Число e можно представить как сумму ряда обратных факториалов. Эта формула очень удобна для вычисления приближенного значения константы:

   $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$

   Здесь $n!$ (n-факториал) — это произведение всех целых чисел от 1 до $n$, а $0!$ по определению равен 1.

3. Через интеграл (в математическом анализе). Число e — это единственное положительное число, для которого площадь под гиперболой $y = 1/x$ от 1 до e равна ровно 1.

   $\int_1^e \frac{1}{x} \,dx = 1$

   Это определение напрямую связано с понятием натурального логарифма ($\ln$), который является логарифмом по основанию e. Таким образом, $\ln(e) = 1$.

Ответ: Число e определяется как предел $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$, как сумма бесконечного ряда $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$, или как единственное число, для которого $\int_1^e \frac{1}{x} \,dx = 1$.

Почему число e называют "замечательным"?

Его "замечательность" заключается в уникальных свойствах, которые делают его незаменимым в математике и естественных науках.

• Свойство в математическом анализе. Экспоненциальная функция $f(x) = e^x$ обладает уникальным свойством: ее производная равна самой функции. То есть, $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Это означает, что скорость роста функции в любой точке равна ее значению в этой точке. Это свойство делает число e "естественным" основанием для показательной функции и логарифма, а также значительно упрощает решение дифференциальных уравнений.

• Моделирование природных процессов. Поскольку многие процессы в природе (рост популяции, радиоактивный распад, охлаждение тел) характеризуются скоростью изменения, пропорциональной текущему значению, они описываются функциями, содержащими число e. Например, закон радиоактивного распада имеет вид $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.

• Связь с комплексными числами. Формула Эйлера, которую многие называют самой красивой формулой в математике, связывает число e с тригонометрическими функциями и мнимой единицей $i$:

  $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

  Частный случай этой формулы при $x = \pi$ дает знаменитое тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант: $e^{i\pi} + 1 = 0$.

• Теория вероятностей. Число e появляется в формулах ключевых распределений, таких как нормальное распределение (гауссиана) и распределение Пуассона, а также в комбинаторных задачах, например, в задаче о беспорядках (вероятность того, что ни один из $n$ предметов не окажется на своем месте, при $n \to \infty$ стремится к $1/e$).

Ответ: "Замечательным" число e является из-за его центральной роли в математическом анализе (функция $e^x$ является собственной производной), его способности описывать экспоненциальный рост и распад в физических и биологических системах, а также благодаря его глубокой связи с комплексными числами через формулу Эйлера.