Номер 1, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Показательные функции в окружающем мире.

Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где $a$ — постоянное положительное число (основание), не равное 1. Ключевая особенность таких функций в том, что скорость изменения величины пропорциональна самой величине. Если основание $a > 1$, мы наблюдаем экспоненциальный рост; если $0 < a < 1$ — экспоненциальное убывание. Эти процессы повсеместно встречаются в природе, науке и экономике.

Рост популяций и эпидемии
В идеальных условиях, при отсутствии ограничений в ресурсах и пространстве, численность популяции живых организмов (например, бактерий, дрожжей) растет по экспоненциальному закону. Каждая особь за определенный промежуток времени производит несколько потомков, и общая численность лавинообразно увеличивается. Этот процесс описывается формулой $N(t) = N_0 \cdot a^t$, где $N_0$ — начальная численность, $N(t)$ — численность в момент времени $t$, а $a$ — коэффициент роста. Аналогичным образом на начальных этапах распространяются эпидемии: каждый инфицированный заражает несколько здоровых людей, что приводит к экспоненциальному росту числа заболевших.
Ответ: Размножение бактерий и распространение вирусов являются классическими примерами экспоненциального роста, описываемого показательной функцией.

Радиоактивный распад и радиоуглеродный анализ
Процесс распада нестабильных атомных ядер является фундаментальным примером экспоненциального убывания. Количество нераспавшихся ядер вещества уменьшается со временем по закону $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, где $N_0$ — начальное количество ядер, $N(t)$ — количество ядер в момент времени $t$, а $\lambda$ — постоянная распада. Важнейшей характеристикой этого процесса является период полураспада $T_{1/2}$ — время, за которое распадается половина исходного количества ядер. Это свойство используется в радиоуглеродном анализе для определения возраста археологических находок и ископаемых останков.
Ответ: Уменьшение количества радиоактивного вещества со временем подчиняется закону экспоненциального убывания, что позволяет датировать древние артефакты.

Финансы и экономика
В банковском деле и инвестициях широко используется понятие сложного процента. Если проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада (простой процент), но и на уже начисленные проценты, то сумма на счете растет экспоненциально. Формула для расчета итоговой суммы $A$ при начислении сложного процента выглядит так: $A = P(1 + r/n)^{nt}$, где $P$ — первоначальная сумма, $r$ — годовая процентная ставка, $n$ — количество начислений процентов в год, а $t$ — количество лет. Этот же принцип работает и в обратную сторону при расчете долга по кредиту или инфляционного обесценивания денег.
Ответ: Рост капитала при вложении под сложный процент или увеличение долга по кредиту описываются показательной функцией.

Физические процессы
Многие физические явления описываются показательными функциями. Например, закон охлаждения Ньютона гласит, что температура тела, помещенного в среду с постоянной температурой, изменяется экспоненциально, стремясь к температуре среды. Разность температур уменьшается по закону $\Delta T(t) = \Delta T_0 \cdot e^{-kt}$. Другой пример — барометрическая формула, которая показывает, как атмосферное давление экспоненциально убывает с увеличением высоты над уровнем моря: $P(h) = P_0 \cdot e^{-mgh/kT}$.
Ответ: Остывание нагретого объекта или падение атмосферного давления с высотой являются физическими процессами, которые моделируются с помощью показательной функции.

Технологии и закон Мура
Эмпирический закон Мура, сформулированный в 1965 году, гласит, что количество транзисторов, размещаемых на кристалле интегральной схемы, удваивается примерно каждые 24 месяца. Это наблюдение описывает экспоненциальный рост вычислительной мощности компьютеров на протяжении десятилетий. Хотя это не физический закон, а скорее наблюдение и прогноз, он точно описывал развитие полупроводниковой индустрии и может быть представлен в виде показательной функции $N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}$, где $T$ — период удвоения (около 2 лет).
Ответ: Увеличение производительности компьютеров, описываемое законом Мура, является ярким примером экспоненциального роста в сфере технологий.