Номер 5, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Как связаны между собой графики функций $y = e^x$ и $y = \ln x$?

Функции $y = e^x$ (показательная функция с основанием $e$) и $y = \ln x$ (натуральный логарифм) являются взаимно обратными. Это основное свойство, которое определяет связь между их графиками.

Чтобы убедиться в этом, найдем функцию, обратную к $y = e^x$. Для этого выразим $x$ через $y$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$: $ \ln y = \ln(e^x) $ По свойству логарифма $\ln(e^x) = x$, поэтому мы получаем: $ x = \ln y $ Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде (где $y$ — функция от $x$), поменяем переменные $x$ и $y$ местами: $ y = \ln x $ Таким образом, мы доказали, что эти функции действительно являются взаимно обратными.

Геометрический смысл взаимно обратных функций заключается в том, что их графики симметричны относительно прямой $y = x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов).

Рассмотрим эту связь подробнее:

1. Точки на графиках. Если точка с координатами $(a, b)$ лежит на графике функции $y = e^x$, то это означает, что $b = e^a$. Тогда для обратной функции будет верно, что $a = \ln b$. Это значит, что точка с координатами $(b, a)$ лежит на графике функции $y = \ln x$. Точки $(a, b)$ и $(b, a)$ симметричны относительно прямой $y=x$. Например:

• Точка $(0, 1)$ лежит на графике $y = e^x$ (потому что $e^0 = 1$). Симметричная ей точка $(1, 0)$ лежит на графике $y = \ln x$ (потому что $\ln 1 = 0$).
• Точка $(1, e)$ лежит на графике $y = e^x$ (потому что $e^1 = e$). Симметричная ей точка $(e, 1)$ лежит на графике $y = \ln x$ (потому что $\ln e = 1$).

2. Область определения и область значений. Область определения одной функции является областью значений для обратной ей функции, и наоборот.

• Для $y = e^x$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$.
• Для $y = \ln x$: область определения $D(y) = (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Асимптоты. График функции $y = e^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось Ox). При симметричном отражении относительно прямой $y=x$ эта асимптота переходит в вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy) для графика функции $y = \ln x$.

Ответ: Графики функций $y=e^x$ и $y=\ln x$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$, так как эти функции являются взаимно обратными.