Номер 1, страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Какое из двух утверждений верно, если $a > 1$, $f(x) > 0$, $g(x) > 0$:

a) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

б) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a t$ и ее поведение в зависимости от основания $a$.

В условии задачи дано, что основание логарифма $a > 1$. При таком условии логарифмическая функция является строго возрастающей. Это означает, что для любых положительных аргументов $t_1$ и $t_2$ справедливо следующее: неравенство $\log_a t_1 > \log_a t_2$ равносильно неравенству $t_1 > t_2$. Другими словами, при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется.

Исходное неравенство в задаче — $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ гарантируют, что оба логарифма определены.

Поскольку $a > 1$, мы можем применить свойство возрастающей логарифмической функции. Это значит, что неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$.

Теперь рассмотрим предложенные утверждения.

а) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

Это утверждение неверно. Равносильность со сменой знака неравенства ($f(x) < g(x)$) была бы верна только в случае, если бы основание логарифма было в интервале $0 < a < 1$, так как тогда логарифмическая функция была бы убывающей. Однако по условию $a > 1$.

Ответ: утверждение неверно.

б) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Это утверждение верно. Оно является прямым следствием свойства возрастания логарифмической функции с основанием $a > 1$. Как было показано выше, при $a > 1$ знак неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам сохраняется.

Ответ: утверждение верно.