Номер 3, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. При каких условиях уравнение $log_a f(x) = log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Рассмотрим оба уравнения, чтобы определить условия их равносильности.

1. Анализ уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $

Это логарифмическое уравнение. Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Таким образом, для любого решения $ x $ должны выполняться следующие условия:

$ f(x) > 0 $ и $ g(x) > 0 $.

На этой ОДЗ, благодаря свойству инъективности (взаимной однозначности) логарифмической функции при основании $ a > 0 $ и $ a \neq 1 $, равенство логарифмов равносильно равенству их аргументов:

$ \log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) $

Следовательно, множество решений уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ является множеством решений системы:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Обратим внимание, что если $ f(x) = g(x) $, то условие $ f(x) > 0 $ автоматически влечет за собой условие $ g(x) > 0 $. Поэтому систему можно упростить, оставив только одно из неравенств. Множество решений первого уравнения — это множество всех $ x $, удовлетворяющих системе:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $

2. Анализ уравнения $ f(x) = g(x) $

Множество решений этого уравнения — это все значения $ x $, для которых функции $ f(x) $ и $ g(x) $ принимают одинаковые значения. В общем случае на знаки этих функций не накладывается никаких ограничений.

3. Условие равносильности

Чтобы два уравнения были равносильны, их множества решений должны быть идентичны. Сравнивая результаты анализа, мы видим, что множество решений уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ является подмножеством множества решений уравнения $ f(x) = g(x) $. Это те решения уравнения $ f(x) = g(x) $, которые дополнительно удовлетворяют условию $ f(x) > 0 $.

Равносильность будет достигнута тогда и только тогда, когда эти множества совпадут. Это произойдет, если дополнительное условие $ f(x) > 0 $ не отсеивает ни одного из корней уравнения $ f(x) = g(x) $. Иными словами, каждый корень уравнения $ f(x) = g(x) $ должен также удовлетворять и условию $ f(x) > 0 $.

Ответ: Уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ равносильно уравнению $ f(x) = g(x) $ при условии, что все решения уравнения $ f(x) = g(x) $ принадлежат области допустимых значений логарифмического уравнения. То есть, для любого корня $ x_0 $ уравнения $ f(x) = g(x) $ должно выполняться неравенство $ f(x_0) > 0 $ (и, как следствие, $ g(x_0) > 0 $).