Номер 4, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Что называют характеристикой десятичного логарифма числа $b$? Найдите характеристику числа:

a) $\lg 155$;

б) $\lg 2013$;

в) $\lg 0,02$.

Десятичный логарифм числа $b$ (обозначается как $\lg b$) — это логарифм по основанию 10. Любое положительное число $b$ можно представить в стандартном виде: $b = a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, которое называется порядком числа.

Прологарифмировав это равенство по основанию 10, получим: $\lg b = \lg(a \cdot 10^n) = \lg a + \lg 10^n = n + \lg a$.

Так как $1 \le a < 10$, то $0 \le \lg a < 1$.

Таким образом, десятичный логарифм любого положительного числа $b$ можно представить в виде суммы целого числа $n$ и неотрицательной правильной дроби $\lg a$.

Характеристикой десятичного логарифма числа $b$ называют целую часть этого логарифма, то есть число $n$. Характеристика логарифма равна порядку числа, записанного в стандартном виде. Другими словами, характеристика $\lg b$ — это $\lfloor \lg b \rfloor$.

а) lg 155; Чтобы найти характеристику десятичного логарифма числа 155, определим, между какими степенями числа 10 оно находится.
$100 < 155 < 1000$
$10^2 < 155 < 10^3$
Прологарифмируем это двойное неравенство по основанию 10:
$\lg 10^2 < \lg 155 < \lg 10^3$
$2 < \lg 155 < 3$
Целая часть логарифма $\lg 155$ равна 2. Это и есть характеристика.
Для чисел больше 1, характеристика логарифма на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа. Число 155 содержит 3 цифры, значит, характеристика равна $3 - 1 = 2$.
Ответ: 2

б) lg 2013; Аналогично найдем характеристику для числа 2013.
$1000 < 2013 < 10000$
$10^3 < 2013 < 10^4$
Прологарифмируем по основанию 10:
$\lg 10^3 < \lg 2013 < \lg 10^4$
$3 < \lg 2013 < 4$
Целая часть логарифма $\lg 2013$ равна 3.
Число 2013 содержит 4 цифры, значит, характеристика равна $4 - 1 = 3$.
Ответ: 3

в) lg 0,02. Для чисел, меньших 1, найдем, между какими отрицательными степенями числа 10 оно находится.
$0,01 < 0,02 < 0,1$
$10^{-2} < 0,02 < 10^{-1}$
Прологарифмируем по основанию 10:
$\lg 10^{-2} < \lg 0,02 < \lg 10^{-1}$
$-2 < \lg 0,02 < -1$
Целая часть (пол) числа, находящегося между -2 и -1, равна -2. Например, $\lg 0,02 \approx -1.699$, и $\lfloor-1.699\rfloor = -2$. Таким образом, характеристика равна -2.
Для положительных чисел меньше 1, характеристика логарифма равна числу нулей после запятой до первой значащей цифры, взятому со знаком минус и увеличенному на единицу. В числе 0,02 один нуль после запятой, значит, характеристика равна $-(1 + 1) = -2$.
Ответ: -2