Номер 1, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Пусть $a, b, c$ — положительные числа, причём $a \neq 1$. Какие из следующих соотношений являются верными, а какие — нет:

а) $\log_a b + \log_a c = \log_a (b + c)$;

б) $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$;

в) $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$;

г) $\log_a b - \log_a c = \log_a (b - c)$;

д) $\log_a bc = \log_a b \cdot \log_a c$;

е) $\log_a \frac{b}{c} = \frac{\log_a b}{\log_a c}$;

ж) $\log_a b^3 = 3 \log_a b$;

з) $\log_a b^3 = (\log_a b)^3$;

и) $-2 \log_a b = \log_a b^{-2}$;

к) $-2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2}$?

а) Соотношение $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b + c) $ является неверным. Это одна из самых распространенных ошибок при работе с логарифмами. Правильное свойство, называемое логарифмом произведения, гласит: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $. Чтобы показать неверность исходного утверждения, достаточно привести контрпример. Пусть $ a = 2, b = 4, c = 4 $. Левая часть равенства: $ \log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4 $. Правая часть равенства: $ \log_2 (4 + 4) = \log_2 8 = 3 $. Поскольку $ 4 \neq 3 $, соотношение неверно.
Ответ: неверно.

б) Соотношение $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $ является верным. Это одно из фундаментальных свойств логарифмов, которое называется "свойство логарифма произведения". Оно утверждает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.
Ответ: верно.

в) Соотношение $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ является верным. Это еще одно фундаментальное свойство логарифмов, которое называется "свойство логарифма частного". Оно утверждает, что логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя по тому же основанию.
Ответ: верно.

г) Соотношение $ \log_a b - \log_a c = \log_a (b - c) $ является неверным. Правильная формула для разности логарифмов приведена в пункте в): $ \log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c}) $. Приведем контрпример для данного в задании утверждения. Пусть $ a = 2, b = 8, c = 4 $. (Условие $b-c > 0$ выполнено). Левая часть: $ \log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1 $. Правая часть: $ \log_2 (8 - 4) = \log_2 4 = 2 $. Поскольку $ 1 \neq 2 $, соотношение неверно.
Ответ: неверно.

д) Соотношение $ \log_a bc = \log_a b \cdot \log_a c $ является неверным. Здесь перепутаны сложение и умножение. Правильное свойство (см. пункт б)) — это $ \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c $. Приведем контрпример. Пусть $ a = 2, b = 2, c = 4 $. Левая часть: $ \log_2 (2 \cdot 4) = \log_2 8 = 3 $. Правая часть: $ \log_2 2 \cdot \log_2 4 = 1 \cdot 2 = 2 $. Поскольку $ 3 \neq 2 $, соотношение неверно.
Ответ: неверно.

е) Соотношение $ \log_a \frac{b}{c} = \frac{\log_a b}{\log_a c} $ является неверным. Правая часть равенства $ \frac{\log_a b}{\log_a c} $ представляет собой формулу перехода к новому основанию для логарифма $ \log_c b $. Правильная же формула для логарифма частного $ \log_a \frac{b}{c} $ — это $ \log_a b - \log_a c $. Приведем контрпример. Пусть $ a = 2, b = 16, c = 4 $. Левая часть: $ \log_2 \frac{16}{4} = \log_2 4 = 2 $. Правая часть: $ \frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2} = 2 $. В этом случае равенство случайно выполнилось. Возьмем другие числа. Пусть $ a = 2, b = 8, c = 2 $. Левая часть: $ \log_2 \frac{8}{2} = \log_2 4 = 2 $. Правая часть: $ \frac{\log_2 8}{\log_2 2} = \frac{3}{1} = 3 $. Поскольку $ 2 \neq 3 $, соотношение в общем случае неверно.
Ответ: неверно.

ж) Соотношение $ \log_a b^3 = 3 \log_a b $ является верным. Это частный случай свойства "логарифм степени": $ \log_a (x^p) = p \log_a x $. В данном равенстве в качестве $x$ выступает $b$, а в качестве $p$ — число $3$.
Ответ: верно.

з) Соотношение $ \log_a b^3 = (\log_a b)^3 $ является неверным. Это распространенная ошибка, смешивающая логарифм степени и степень логарифма. Как показано в пункте ж), правильная формула: $ \log_a b^3 = 3 \log_a b $. Приведем контрпример. Пусть $ a = 2, b = 2 $. Левая часть: $ \log_2 (2^3) = \log_2 8 = 3 $. Правая часть: $ (\log_2 2)^3 = 1^3 = 1 $. Поскольку $ 3 \neq 1 $, соотношение неверно.
Ответ: неверно.

и) Соотношение $ -2 \log_a b = \log_a b^{-2} $ является верным. Это прямое применение свойства логарифма степени $ p \log_a x = \log_a (x^p) $. Если мы подставим $ p = -2 $ и $ x = b $, то получим в точности указанное равенство.
Ответ: верно.

к) Соотношение $ -2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2} $ является верным. Это равенство является комбинацией предыдущего свойства и определения степени с отрицательным показателем. Из пункта и) мы знаем, что $ -2 \log_a b = \log_a b^{-2} $. По определению степени с отрицательным показателем, $ b^{-2} = \frac{1}{b^2} $. Подставив это в предыдущее равенство, получаем: $ -2 \log_a b = \log_a \frac{1}{b^2} $.
Ответ: верно.