Номер 3, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Приведите два примера, когда $\log_a b$ — иррациональное число.

Для того чтобы число $\log_a b$ было иррациональным, необходимо и достаточно, чтобы числа $a$ и $b$ (при условии, что они целые) не являлись целыми степенями одного и того же целого числа. Проще говоря, если разложить $a$ и $b$ на простые множители, то наборы этих простых множителей должны быть разными. Самый простой способ — выбрать в качестве $a$ и $b$ разные простые числа.

Приведем два примера и докажем иррациональность этих чисел методом от противного.

Пример 1

Рассмотрим число $\log_2 3$.

Предположим, что $\log_2 3$ — рациональное число. Это значит, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, а $q \neq 0$. Так как $\log_2 3 > 0$, можно считать, что $p$ и $q$ — натуральные числа.

Итак, пусть $\log_2 3 = \frac{p}{q}$.

По определению логарифма, это равенство можно переписать в виде:

$2^{\frac{p}{q}} = 3$

Возведем обе части равенства в степень $q$:

$(2^{\frac{p}{q}})^q = 3^q$

$2^p = 3^q$

Мы получили равенство, в левой части которого стоит степень двойки, а в правой — степень тройки. Для любых натуральных $p$ и $q$ число $2^p$ является четным, а число $3^q$ — нечетным. Равенство четного и нечетного чисел невозможно.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, число $\log_2 3$ является иррациональным.

Ответ: $\log_2 3$.

Пример 2

Рассмотрим число $\log_5 7$.

Доказательство строится аналогично. Предположим, что $\log_5 7$ — рациональное число, то есть $\log_5 7 = \frac{p}{q}$ для некоторых натуральных чисел $p$ и $q$.

По определению логарифма:

$5^{\frac{p}{q}} = 7$

Возведем обе части в степень $q$:

$5^p = 7^q$

Воспользуемся основной теоремой арифметики, которая гласит, что любое натуральное число больше 1 разлагается на простые множители единственным образом (с точностью до порядка множителей).

Число в левой части, $5^p$, имеет в своем разложении на простые множители только одну простую пятерку.

Число в правой части, $7^q$, имеет в своем разложении на простые множители только одну простую семерку.

Так как разложения на простые множители для левой и правой частей различны, то и сами числа не могут быть равны. Мы снова пришли к противоречию.

Следовательно, наше предположение было ложным, и число $\log_5 7$ является иррациональным.

Ответ: $\log_5 7$.