Номер 1, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Какое из двух утверждений верно, если $a > 1$:

а) неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

б) неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать свойства показательной функции $y = a^x$ при условии, что основание $a > 1$.

Когда основание степени $a$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция является монотонно возрастающей. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. И наоборот, если $a^{x_1} > a^{x_2}$, то из этого следует, что $x_1 > x_2$.

Другими словами, при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей (и обратно) знак неравенства сохраняется, если основание степени больше 1.

Применим это свойство к заданному неравенству $a^{f(x)} > a^{g(x)}$. Так как по условию $a > 1$, это неравенство будет равносильно неравенству для показателей $f(x)$ и $g(x)$ с тем же знаком:

$f(x) > g(x)$

Теперь сравним этот результат с предложенными утверждениями:

а) Утверждение, что неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$, является неверным. Оно было бы верным, если бы основание степени удовлетворяло условию $0 < a < 1$ (так как в этом случае показательная функция является убывающей и знак неравенства меняется на противоположный).

б) Утверждение, что неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$, является верным, так как оно в точности соответствует свойству возрастающей показательной функции с основанием $a > 1$.

Таким образом, верным является утверждение б).

Ответ: б)