Номер 3, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$? уравнение $3^x = 4 - x$? Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$?

Для того чтобы определить количество корней уравнения, рассмотрим его как равенство двух функций $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 5 - x$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения их графиков.
Функция $f(x) = 3^x$ является показательной и строго возрастает на всей числовой прямой.
Функция $g(x) = 5 - x$ является линейной и строго убывает на всей числовой прямой.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Чтобы доказать, что корень существует, покажем, что разность функций $h(x) = f(x) - g(x) = 3^x - (5 - x) = 3^x + x - 5$ принимает значения разных знаков.
При $x = 1$: $h(1) = 3^1 + 1 - 5 = -1$.
При $x = 2$: $h(2) = 3^2 + 2 - 5 = 9 + 2 - 5 = 6$.
Так как функция $h(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[1, 2]$ её значения имеют разные знаки ($h(1) < 0$ и $h(2) > 0$), то по теореме о промежуточном значении внутри этого отрезка существует точка $x_0$, в которой $h(x_0) = 0$.
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: один корень.

Сколько корней имеет уравнение $3^x = 4 - x$?

Аналогично предыдущему случаю, рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ (строго возрастающая) и $g(x) = 4 - x$ (строго убывающая). Уравнение может иметь не более одного корня.
Попробуем найти корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:
Левая часть: $3^1 = 3$.
Правая часть: $4 - 1 = 3$.
Поскольку $3 = 3$, то $x=1$ является корнем уравнения.
Так как мы установили, что уравнение не может иметь более одного корня, то $x=1$ является единственным корнем.

Ответ: один корень.

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Решить уравнение — значит найти все его корни.
Корень уравнения $3^x = 4 - x$ очень легко находится устным подбором: $x=1$. Поскольку мы доказали, что корень единственный, уравнение решено.
Корень уравнения $3^x = 5 - x$ находится в интервале $(1, 2)$, он не является целым или простым рациональным числом. Найти его точное значение устно, без применения специальных численных методов, невозможно.
Следовательно, устно можно решить второе уравнение.

Ответ: уравнение $3^x = 4 - x$.