Номер 1, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Верно ли, что уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x - 2 = x^2$? Обоснуйте свой ответ.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Чтобы определить, являются ли данные уравнения равносильными, мы можем либо решить каждое из них и сравнить множества решений, либо показать, что одно уравнение может быть получено из другого с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим первое уравнение: $3^{2x-4} = 9^{x^2}$.

Это показательное уравнение. Для его решения приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$. Подставим это в правую часть уравнения:

$9^{x^2} = (3^2)^{x^2} = 3^{2 \cdot x^2} = 3^{2x^2}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$3^{2x-4} = 3^{2x^2}$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели. Это преобразование является равносильным, так как показательная функция $y=3^t$ строго монотонна.

$2x - 4 = 2x^2$.

Разделим обе части полученного уравнения на 2, что также является равносильным преобразованием:

$x - 2 = x^2$.

В результате равносильных преобразований мы получили второе уравнение, данное в условии задачи. Это означает, что любое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот. Следовательно, уравнения равносильны.

Для полной проверки найдем решения уравнения $x - 2 = x^2$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что множество решений для уравнения $x - 2 = x^2$ является пустым множеством $(\emptyset)$.

Поскольку первое уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x - 2 = x^2$, оно также не имеет действительных корней, и его множество решений тоже является пустым.

Так как множества решений обоих уравнений совпадают (оба являются пустыми), уравнения равносильны.

Ответ: да, верно. Уравнения равносильны, так как в результате равносильных преобразований первое уравнение приводится ко второму. Множество решений для обоих уравнений является пустым.