Номер 2, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Какое из двух утверждений верно, если $0 < a < 1$:

а) неравенство $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \leq g(x);$

б) неравенство $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \geq g(x)?$

Чтобы определить, какое из двух утверждений является верным, необходимо рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$ в зависимости от ее основания $a$.

Ключевым свойством является монотонность функции:

• Если основание $a > 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при решении неравенств вида $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ знак неравенства для показателей сохраняется: $f(x) \le g(x)$.
• Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, при решении неравенств вида $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ знак неравенства для показателей меняется на противоположный: $f(x) \ge g(x)$.

В условии задачи дано, что $0 < a < 1$. Это означает, что мы имеем дело со вторым случаем — убывающей показательной функцией. Поэтому неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$.

Теперь проанализируем каждое утверждение:

а) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$

Это утверждение было бы верным, если бы $a > 1$. Но поскольку по условию $0 < a < 1$, оно неверно.

б) неравенство $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$

Это утверждение верно, так как для основания $0 < a < 1$ показательная функция является убывающей, и при переходе к неравенству для показателей знак должен измениться на противоположный.

Ответ: верно утверждение б).