Номер 2, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. При каком основании $a$ функция $y = \log_a x$:

а) возрастает;

б) убывает;

в) выпукла вверх;

г) выпукла вниз?

Для анализа свойств функции $y = \log_a x$, мы будем использовать ее производные. Сначала определим область допустимых значений для основания логарифма $a$: $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения самой функции: $x > 0$.

Найдем первую и вторую производные функции. Для этого удобно перейти к натуральному логарифму по формуле $ \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $:

$y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Первая производная по $x$:

$y' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Вторая производная по $x$:

$y'' = \left(\frac{1}{x \ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (x^{-1})' = \frac{1}{\ln a} \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = -\frac{1}{x^2 \ln a}$

Теперь рассмотрим каждый пункт вопроса.

а) возрастает

Функция возрастает на своей области определения, если ее первая производная положительна, то есть $y' > 0$.

$y' = \frac{1}{x \ln a} > 0$

Поскольку по области определения функции $x > 0$, знак производной зависит только от знака выражения $\ln a$.

Для того чтобы дробь была положительной, знаменатель $x \ln a$ должен быть положительным. Так как $x > 0$, необходимо, чтобы $\ln a > 0$.

Решая неравенство $\ln a > 0$, получаем $a > e^0$, что равносильно $a > 1$.

Ответ: $a \in (1, +\infty)$

б) убывает

Функция убывает, если ее первая производная отрицательна, то есть $y' < 0$.

$y' = \frac{1}{x \ln a} < 0$

Так как $x > 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель $x \ln a$ был отрицательным, а значит $\ln a < 0$.

Решая неравенство $\ln a < 0$ с учетом ОДЗ для основания ($a > 0$), получаем $0 < a < e^0$, что равносильно $0 < a < 1$.

Ответ: $a \in (0, 1)$

в) выпукла вверх

Функция является выпуклой вверх (вогнутой), если ее вторая производная отрицательна, то есть $y'' < 0$.

$y'' = -\frac{1}{x^2 \ln a} < 0$

Домножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:

$\frac{1}{x^2 \ln a} > 0$

В области определения функции $x > 0$, следовательно, $x^2 > 0$. Значит, знак дроби определяется знаком $\ln a$.

Необходимо, чтобы $\ln a > 0$, что, как мы выяснили в пункте а), соответствует условию $a > 1$.

Ответ: $a \in (1, +\infty)$

г) выпукла вниз

Функция является выпуклой вниз (или просто выпуклой), если ее вторая производная положительна, то есть $y'' > 0$.

$y'' = -\frac{1}{x^2 \ln a} > 0$

Домножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:

$\frac{1}{x^2 \ln a} < 0$

Поскольку $x^2 > 0$, знак дроби определяется знаком $\ln a$.

Необходимо, чтобы $\ln a < 0$, что, как мы выяснили в пункте б), соответствует условию $0 < a < 1$.

Ответ: $a \in (0, 1)$