Номер 3, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Напишите уравнение асимптоты для графика функции:

а) $y = \lg x$;

б) $y = \log_2(x - 1)$;

в) $y = \log_{0.5} (x + 4)$;

г) $y = \log_2 x - 3$.

Асимптотой графика логарифмической функции вида $y = C \cdot \log_a(kx + b) + D$ является вертикальная прямая. Уравнение этой прямой можно найти, приравняв аргумент логарифма к нулю, так как логарифм определен только для положительных значений аргумента, и при приближении аргумента к нулю значение функции стремится к бесконечности ($\pm\infty$).

а) $y = \lg x$

Данная функция представляет собой десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $y = \log_{10} x$.
Аргументом логарифма является переменная $x$. Область определения функции задается неравенством $x > 0$.
Чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты, приравниваем аргумент к нулю:
$x = 0$.
Это уравнение оси ординат (оси OY).

Ответ: $x = 0$.

б) $y = \log_2(x - 1)$

Аргументом логарифма является выражение $(x - 1)$. Область определения функции: $x - 1 > 0$, откуда следует $x > 1$.
Приравниваем аргумент логарифма к нулю для нахождения уравнения асимптоты:
$x - 1 = 0$.
Решая это простое уравнение, получаем:
$x = 1$.
График этой функции получается сдвигом графика $y = \log_2 x$ на 1 единицу вправо, поэтому и его асимптота $x=0$ сдвигается на 1 вправо.

Ответ: $x = 1$.

в) $y = \log_{0.5}(x + 4)$

Аргументом логарифма является выражение $(x + 4)$. Область определения функции: $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$.
Приравниваем аргумент к нулю, чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты:
$x + 4 = 0$.
Отсюда получаем:
$x = -4$.
График этой функции получается сдвигом графика $y = \log_{0.5} x$ на 4 единицы влево.

Ответ: $x = -4$.

г) $y = \log_2 x - 3$

В данной функции аргументом логарифма является $x$. Область определения: $x > 0$.
Вычитание константы 3 из значения логарифма соответствует сдвигу графика функции $y = \log_2 x$ на 3 единицы вниз по оси OY. Такой сдвиг не изменяет положение вертикальной асимптоты.
Приравниваем аргумент $x$ к нулю:
$x = 0$.
Это и есть уравнение асимптоты.

Ответ: $x = 0$.