Номер 1, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Можно ли утверждать, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

1.

Да, можно утверждать, что данные уравнения равносильны. Разберем почему.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот. Для доказательства равносильности уравнений $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ и $f(x) = g(x)$ нужно рассмотреть переход от одного к другому в обе стороны.

Во-первых, рассмотрим переход от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Пусть $x_0$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Это значит, что при подстановке $x_0$ в обе части уравнения получается верное числовое равенство $f(x_0) = g(x_0)$. При этом, естественно, $x_0$ входит в область определения функций $f(x)$ и $g(x)$. Если два числа равны, то и показательные функции с одинаковым основанием $a$ от этих чисел также будут равны. То есть из $f(x_0) = g(x_0)$ следует $a^{f(x_0)} = a^{g(x_0)}$. Следовательно, любой корень уравнения $f(x) = g(x)$ является корнем уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$.

Во-вторых, рассмотрим обратный переход: от уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$. Пусть $x_1$ является корнем уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Это означает, что $x_1$ принадлежит области определения функций $f(x)$ и $g(x)$, и выполняется равенство $a^{f(x_1)} = a^{g(x_1)}$. Показательная функция $y = a^t$ с основанием $a > 0$ и $a \neq 1$ является строго монотонной (возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$). Ключевым свойством строго монотонной функции является ее взаимная однозначность (или инъективность): если значения функции равны, то равны и аргументы. Таким образом, из равенства $a^{f(x_1)} = a^{g(x_1)}$ однозначно следует, что $f(x_1) = g(x_1)$. Это означает, что любой корень уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ является и корнем уравнения $f(x) = g(x)$.

Важно также отметить, что область допустимых значений (ОДЗ) у обоих уравнений одинакова. Для существования выражений в уравнении $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ необходимо, чтобы были определены функции $f(x)$ и $g(x)$ (так как показательная функция $a^t$ определена для любого действительного $t$). Для уравнения $f(x) = g(x)$ ОДЗ определяется теми же условиями. Так как ОДЗ не изменяется при переходе между уравнениями, мы не теряем и не приобретаем посторонних корней.

Поскольку мы доказали, что множества решений обоих уравнений полностью совпадают, мы можем утверждать, что они равносильны.

Ответ: Да, можно утверждать, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (где $a > 0, a \neq 1$) равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, так как показательная функция является взаимно однозначной, а области определения обоих уравнений совпадают.