Номер 2, страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Какое из двух утверждений верно, если $0 < a < 1$, $f(x) > 0$, $g(x) > 0$:

а) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$;

б) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ при заданных условиях.

По условию, основание логарифма $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является монотонно убывающей на всей своей области определения. Область определения логарифма требует, чтобы его аргумент был строго больше нуля, что соответствует условиям $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Свойство убывающей функции заключается в том, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 \ge x_2$, то $\log_a x_1 \le \log_a x_2$. И наоборот, при решении неравенств, если $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$, то знак неравенства для аргументов меняется на противоположный: $f(x) \ge g(x)$.

Исходя из этого правила, проанализируем каждое утверждение.

а) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$;

Данное утверждение неверно. Оно предполагает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Это характерно для возрастающей функции, то есть для случая, когда основание $a > 1$. В условиях задачи $0 < a < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства должен меняться.

Ответ: утверждение неверно.

б) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)?$

Данное утверждение верно. Поскольку логарифмическая функция с основанием $a$ ($0 < a < 1$) является убывающей, при потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) знак неравенства $\le$ должен измениться на $\ge$.

Ответ: утверждение верно.