Номер 7, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Есть ли асимптоты у графиков функций $y = e^x$ и $y = \ln x$?

Если есть, то запишите их уравнения.

Да, у графиков обеих функций есть асимптоты. Рассмотрим каждую функцию отдельно.

y = e^x

Асимптота — это прямая, к которой график функции приближается бесконечно близко по мере удаления точки на графике от начала координат. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. Вертикальные асимптоты. Функция $y=e^x$ определена и непрерывна на всей числовой оси ($x \in (-\infty; +\infty)$). У нее нет точек, в которых значение функции стремилось бы к бесконечности. Следовательно, вертикальных асимптот у графика нет.

2. Горизонтальные и наклонные асимптоты. Для их нахождения необходимо исследовать поведение функции на бесконечности, то есть найти пределы.

Найдём предел при $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
Поскольку предел равен конечному числу (0), прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.

Найдём предел при $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
Предел равен бесконечности, значит, горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет. Проверим наличие наклонной асимптоты вида $y=kx+b$. Коэффициент $k$ вычисляется как $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}$. По правилу Лопиталя, этот предел равен $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{1} = +\infty$. Так как $k$ не является конечным числом, наклонных асимптот тоже нет.

Таким образом, у графика функции $y=e^x$ есть одна горизонтальная асимптота.
Ответ: $y=0$.

y = ln x

1. Вертикальные асимптоты. Область определения функции натурального логарифма $y=\ln x$ — это все положительные числа, то есть $x \in (0; +\infty)$. Необходимо исследовать поведение функции на границе области определения, то есть при $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$).
$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось ординат OY) является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальные и наклонные асимптоты. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
Предел равен бесконечности, поэтому горизонтальной асимптоты нет.

Проверим наличие наклонной асимптоты $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$
Используя правило Лопиталя (так как имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$), получаем:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$
Поскольку $k=0$, наклонной асимптоты нет (этот случай мог бы соответствовать горизонтальной асимптоте, но мы уже выяснили, что ее нет).

Таким образом, у графика функции $y=\ln x$ есть одна вертикальная асимптота.
Ответ: $x=0$.