Номер 4, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Из истории возникновения логарифмов.

История возникновения логарифмов неразрывно связана с практическими потребностями науки и техники XVI-XVII веков. В эпоху Великих географических открытий, развития астрономии и навигации, ученым и инженерам приходилось выполнять огромное количество сложных расчетов. Умножение и деление многозначных чисел, извлечение корней и возведение в степень отнимали массу времени и часто приводили к ошибкам. Возникла острая необходимость в новом математическом инструменте, который мог бы упростить эти трудоемкие операции.

Первой попыткой упростить умножение был метод простафереза, основанный на тригонометрических формулах, который позволял заменять умножение сложением и вычитанием. Однако этот метод был громоздким и не всегда удобным. Настоящим прорывом стало изобретение логарифмов.

Предпосылки возникновения

К концу XVI века математики осознали взаимосвязь между арифметической и геометрической прогрессиями. Если взять геометрическую прогрессию, например, $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, и арифметическую прогрессию показателей степени $a_n = n-1$, то умножению членов геометрической прогрессии ($b_i \cdot b_j$) соответствует сложение членов арифметической прогрессии ($a_i + a_j$). Эта идея и легла в основу концепции логарифмов: найти способ сопоставить каждому числу (члену геометрической прогрессии) его "показатель" (член арифметической прогрессии), чтобы заменить сложное умножение чисел на простое сложение их показателей.
Ответ: Таким образом, главной предпосылкой для изобретения логарифмов стала острая потребность в ускорении и упрощении сложных вычислительных операций, в первую очередь в астрономии, навигации и торговле.

Джон Непер и его логарифмы

Честь изобретения логарифмов принадлежит шотландскому барону Джону Неперу (1550–1617). После почти двадцати лет работы, в 1614 году он опубликовал в Эдинбурге свой труд "Описание удивительной таблицы логарифмов" (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В этой работе он изложил свою теорию и привел таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Сам термин "логарифм" был введен Непером и происходит от греческих слов λόγος (логос — "отношение") и ἀριθμός (аритмос — "число").

Логарифмы Непера отличались от современных. В его системе логарифм полной шкалы (синуса 90°, который он принимал за $10^7$) был равен нулю, а логарифм уменьшался по мере роста числа. Его определение было основано на кинематической модели, но суть оставалась той же: заменить умножение на сложение. Работа Непера произвела огромное впечатление на научный мир.
Ответ: Джон Непер в 1614 году первым опубликовал таблицы логарифмов, предложив метод, который заменял трудоемкое умножение и деление на более простое сложение и вычитание, что стало революцией в вычислительной математике.

Йост Бюрги и его таблицы

Независимо от Непера, и, возможно, даже раньше него, к идее логарифмов пришел швейцарский математик и часовщик Йост Бюрги (1552–1632), который работал при дворе императора Рудольфа II в Праге. Он составил свои "Таблицы арифметической и геометрической прогрессий" около 1610 года, но опубликовал их только в 1620 году, на 6 лет позже Непера, и поэтому слава первооткрывателя досталась шотландцу. Система Бюрги была основана на основании, близком к современному числу $e$, но из-за поздней публикации и меньшего распространения его труд не получил такой известности, как работа Непера.
Ответ: Йост Бюрги независимо разработал концепцию логарифмов, но из-за поздней публикации своего труда в 1620 году уступил первенство Джону Неперу.

Генри Бриггс и десятичные логарифмы

Английский профессор математики Генри Бриггс (1561–1630) был настолько восхищен изобретением Непера, что лично посетил его в Шотландии в 1615 году. В ходе их встреч родилась идея усовершенствовать систему. Бриггс предложил использовать основание 10, что было гораздо удобнее для вычислений в десятичной системе счисления. В такой системе логарифм единицы равен нулю ($log_{10}(1) = 0$), а логарифм десяти равен единице ($log_{10}(10) = 1$). Непер согласился с этими предложениями.

После смерти Непера Бриггс посвятил свою жизнь вычислению таблиц десятичных ("обычных") логарифмов. В 1624 году он опубликовал свой труд "Логарифмическая арифметика" (Arithmetica Logarithmica), содержащий таблицы логарифмов для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 с точностью до 14 знаков. Именно десятичные логарифмы получили наибольшее распространение в инженерной и научной практике на последующие столетия.
Ответ: Генри Бриггс в сотрудничестве с Непером усовершенствовал идею логарифмов, предложив использовать основание 10, что сделало их чрезвычайно удобными для практических расчетов и привело к созданию таблиц десятичных логарифмов.

Дальнейшее развитие и значение логарифмов

Изобретение логарифмов оказало немедленное и огромное влияние на науку. Иоганн Кеплер с восторгом использовал их для своих астрономических расчетов, которые легли в основу его законов движения планет. Вскоре на основе логарифмической шкалы была изобретена логарифмическая линейка (Уильям Оутред, ок. 1622 г.) — аналоговый вычислительный прибор, ставший главным инструментом инженера вплоть до появления электронных калькуляторов в XX веке.

Современное понимание логарифма как показателя степени, то есть определение $y = \log_a(x)$ как эквивалента $x = a^y$, было окончательно сформулировано в работах Леонарда Эйлера в XVIII веке. Он же ввел обозначение $e$ для основания натуральных логарифмов и показал фундаментальную связь между показательной и логарифмической функциями.

Значение логарифмов для развития науки трудно переоценить. Французский математик Пьер-Симон Лаплас сказал, что логарифмы, "сократив труд астронома, продлили ему жизнь". Это изобретение стало одним из ключевых достижений математики, которое на столетия вперед ускорило научный и технический прогресс.
Ответ: Логарифмы радикально ускорили научные расчеты, способствовали великим открытиям в астрономии, привели к созданию логарифмической линейки и, благодаря работам Эйлера, стали фундаментальной частью современного математического анализа.