Номер 2, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Укажите по две первообразных для каждой из следующих функций:

а) $y = x^3$;

б) $y = \sqrt{x}$;

в) $y = \frac{1}{x}$;

г) $y = \sin x$;

д) $y = \cos x$;

е) $y = e^x$.

Первообразная функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ имеет вид $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Чтобы найти две первообразные, достаточно найти одну ($F(x)$) и затем добавить к ней две разные константы.

а) Для нахождения первообразной функции $y = x^3$ воспользуемся формулой для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. При $n=3$ общий вид первообразной будет $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$. Чтобы указать две первообразные, выберем два различных значения для константы $C$. Например, при $C=0$ получаем $F_1(x) = \frac{x^4}{4}$, а при $C=5$ получаем $F_2(x) = \frac{x^4}{4} + 5$.

Ответ: $F_1(x) = \frac{x^4}{4}$ и $F_2(x) = \frac{x^4}{4} + 5$.

б) Представим функцию $y = \sqrt{x}$ как $y = x^{1/2}$. Применяя ту же формулу для степенной функции при $n=1/2$, получаем общий вид первообразной: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$, или $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$. Выберем две произвольные константы, например, $C=0$ и $C=-1$. Тогда две первообразные будут $F_1(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ и $F_2(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 1$.

Ответ: $F_1(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ и $F_2(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 1$.

в) Первообразная для функции $y = \frac{1}{x}$ - это натуральный логарифм. Общий вид первообразной: $F(x) = \ln|x| + C$. Модуль $x$ необходим, так как область определения исходной функции - все действительные числа, кроме нуля ($x \neq 0$). Выбрав $C=0$ и $C=2$, получим две первообразные: $F_1(x) = \ln|x|$ и $F_2(x) = \ln|x| + 2$.

Ответ: $F_1(x) = \ln|x|$ и $F_2(x) = \ln|x| + 2$.

г) Первообразная для функции $y = \sin x$ находится из основного правила интегрирования тригонометрических функций. Так как $(\cos x)' = -\sin x$, то первообразной для $\sin x$ будет $-\cos x$. Общий вид первообразной: $F(x) = -\cos x + C$. В качестве двух примеров возьмем $C=0$ и $C=1$. Тогда $F_1(x) = -\cos x$ и $F_2(x) = -\cos x + 1$.

Ответ: $F_1(x) = -\cos x$ и $F_2(x) = -\cos x + 1$.

д) Первообразная для функции $y = \cos x$ находится аналогично. Так как $(\sin x)' = \cos x$, то общий вид первообразной: $F(x) = \sin x + C$. Возьмем константы $C=0$ и $C=-10$. Получаем две первообразные: $F_1(x) = \sin x$ и $F_2(x) = \sin x - 10$.

Ответ: $F_1(x) = \sin x$ и $F_2(x) = \sin x - 10$.

е) Экспоненциальная функция $y = e^x$ уникальна тем, что ее производная равна самой функции. Следовательно, и ее первообразная также будет $e^x$. Общий вид первообразной: $F(x) = e^x + C$. Выбрав $C=0$ и $C=3$, получим две первообразные: $F_1(x) = e^x$ и $F_2(x) = e^x + 3$.

Ответ: $F_1(x) = e^x$ и $F_2(x) = e^x + 3$.