Номер 4, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Какое из приведённых ниже утверждений верно, а какое нет:

а) если $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, то $y = kF(kx + b)$ — первообразная для функции $y = f(kx + b);$

б) если $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, то $y = \frac{1}{k}F(kx + b)$ — первообразная для функции $y = f(kx + b)?$

а) Чтобы проверить, является ли функция $Y(x) = kF(kx + b)$ первообразной для функции $y = f(kx + b)$, нужно найти производную функции $Y(x)$ и сравнить ее с $f(kx + b)$.
По определению первообразной, если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную от $Y(x) = kF(kx + b)$ используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
$Y'(x) = (kF(kx + b))' = k \cdot (F(kx + b))'$
Применим цепное правило к выражению $F(kx + b)$:
$(F(kx + b))' = F'(kx + b) \cdot (kx + b)'$
Так как $F'(x) = f(x)$, то $F'(kx + b) = f(kx + b)$. Производная внутренней функции $(kx + b)' = k$.
Подставим все в исходное выражение для $Y'(x)$:
$Y'(x) = k \cdot (f(kx + b) \cdot k) = k^2 f(kx + b)$
Полученное выражение $k^2 f(kx + b)$ в общем случае не равно $f(kx + b)$ (равенство выполняется только при $k^2=1$, то есть $k=\pm1$, или при $f(kx+b)=0$). Следовательно, данное утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

б) Чтобы проверить, является ли функция $Y(x) = \frac{1}{k}F(kx + b)$ первообразной для функции $y = f(kx + b)$, также найдем ее производную.
$Y'(x) = \left(\frac{1}{k}F(kx + b)\right)' = \frac{1}{k} \cdot (F(kx + b))'$
Из пункта а) мы уже знаем, что производная сложной функции $F(kx + b)$ равна:
$(F(kx + b))' = f(kx + b) \cdot k$
Теперь подставим это в выражение для $Y'(x)$:
$Y'(x) = \frac{1}{k} \cdot (k \cdot f(kx + b)) = f(kx + b)$
Производная функции $Y(x) = \frac{1}{k}F(kx + b)$ равна $f(kx + b)$. Это означает, что $Y(x)$ действительно является первообразной для $f(kx + b)$.
Ответ: утверждение верно.