Номер 3, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Какие из приведённых ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны, а какие — нет:

а) первообразная суммы равна сумме первообразных;

б) первообразная произведения равна произведению первообразных;

в) первообразная разности равна разности первообразных;

г) первообразная частного равна частному первообразных?

Чтобы определить, верны ли утверждения, мы будем использовать определение первообразной. Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$, если выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

а) первообразная суммы равна сумме первообразных;

Это утверждение верно.
Пусть у нас есть две функции $f(x)$ и $g(x)$, и пусть $F(x)$ и $G(x)$ являются их первообразными соответственно. Это означает, что $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$.
Мы хотим проверить, является ли сумма первообразных $F(x) + G(x)$ первообразной для суммы функций $f(x) + g(x)$. Для этого нужно найти производную от суммы первообразных:
$(F(x) + G(x))'$
Согласно правилу дифференцирования суммы, производная суммы равна сумме производных:
$(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x)$
Так как $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, мы получаем:
$F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$
Таким образом, производная от суммы первообразных действительно равна сумме исходных функций. Это одно из основных правил интегрирования: $\int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$.
Ответ: верно.

б) первообразная произведения равна произведению первообразных;

Это утверждение неверно.
Рассмотрим контрпример. Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = x$.
Их первообразные: $F(x) = \int 1 dx = x$ и $G(x) = \int x dx = \frac{x^2}{2}$. (Для простоты мы опускаем константу интегрирования $C$).
Произведение первообразных: $F(x) \cdot G(x) = x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$.
Теперь найдем первообразную от произведения функций $f(x) \cdot g(x) = 1 \cdot x = x$.
$\int (f(x) \cdot g(x)) dx = \int x dx = \frac{x^2}{2}$.
Сравнивая результаты, мы видим, что $\frac{x^3}{2} \neq \frac{x^2}{2}$.
Проблема в том, что правило дифференцирования произведения (правило Лейбница) выглядит так: $(F(x) \cdot G(x))' = F'(x)G(x) + F(x)G'(x) = f(x)G(x) + F(x)g(x)$, что в общем случае не равно $f(x)g(x)$.
Ответ: нет.

в) первообразная разности равна разности первообразных;

Это утверждение верно.
Доказательство аналогично пункту а). Пусть $F(x)$ и $G(x)$ являются первообразными для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.
Проверим, является ли разность $F(x) - G(x)$ первообразной для разности $f(x) - g(x)$, взяв производную:
$(F(x) - G(x))'$
По правилу дифференцирования разности:
$(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x)$
Подставляя определения первообразных, получаем:
$F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)$
Производная разности первообразных равна разности исходных функций. Это также одно из основных правил интегрирования: $\int(f(x) - g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$.
Ответ: верно.

г) первообразная частного равна частному первообразных?

Это утверждение неверно.
Приведем контрпример. Пусть $f(x) = 2x$ и $g(x) = 1$.
Их первообразные: $F(x) = \int 2x dx = x^2$ и $G(x) = \int 1 dx = x$.
Частное первообразных: $\frac{F(x)}{G(x)} = \frac{x^2}{x} = x$.
Теперь найдем первообразную от частного функций $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2x}{1} = 2x$.
$\int \frac{f(x)}{g(x)} dx = \int 2x dx = x^2$.
Сравнивая результаты, мы видим, что $x \neq x^2$.
Правило дифференцирования частного: $(\frac{F(x)}{G(x)})' = \frac{F'(x)G(x) - F(x)G'(x)}{[G(x)]^2} = \frac{f(x)G(x) - F(x)g(x)}{[G(x)]^2}$, что в общем случае не равно $\frac{f(x)}{g(x)}$.
Ответ: нет.