Номер 2, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

...по отрезку $[a,b]$. Как ...

2. В чём состоит геометрический смысл определённого интеграла?

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в вычислении площади плоской фигуры, которая называется криволинейной трапецией.

Рассмотрим наиболее простой и распространённый случай. Пусть на отрезке $[a, b]$ задана непрерывная и неотрицательная функция $y = f(x)$, то есть $f(x) \ge 0$ для всех $x \in [a, b]$. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — осью абсцисс ($Ox$), а по бокам — прямыми $x=a$ и $x=b$.

В этом случае определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ численно равен площади $S$ этой криволинейной трапеции.
$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Геометрический смысл сохраняется и для функций, принимающих отрицательные значения, но с некоторыми особенностями:

• Если функция $y=f(x)$ непрерывна и неположительна ($f(x) \le 0$) на отрезке $[a, b]$, то её график расположен под осью абсцисс. Определённый интеграл от такой функции будет отрицательным, а его модуль равен площади соответствующей криволинейной трапеции. То есть, площадь $S$ можно найти так:
  $S = - \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \left| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right|$
• Если функция $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$ принимает значения разных знаков, то определённый интеграл выражает алгебраическую сумму площадей фигур, на которые график функции делит криволинейную трапецию. Площади фигур, расположенных над осью абсцисс, входят в сумму со знаком «плюс», а площади фигур, расположенных под осью абсцисс, — со знаком «минус». Например, если $f(x)$ пересекает ось Ox в точке $c \in (a, b)$, будучи положительной на $[a, c]$ и отрицательной на $[c, b]$, то:
  $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = S_{1} - S_{2}$
  где $S_1$ — площадь фигуры над осью Ox, а $S_2$ — площадь фигуры под осью Ox.

Таким образом, определённый интеграл является обобщением понятия площади, представляя собой "площадь со знаком" или алгебраическую площадь.

Ответ: Геометрический смысл определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Если функция на этом отрезке меняет знак, то интеграл равен разности между суммой площадей фигур, расположенных над осью $Ox$, и суммой площадей фигур, расположенных под ней.