Номер 7, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$, $y = f(x)$, где $y = f(x)$ — непрерывная неотрицательная функция на отрезке $[3; 5]$?

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a; b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Это является геометрическим смыслом определенного интеграла.

Для вычисления площади используется формула Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — любая первообразная для функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ (то есть такая функция, что ее производная $F'(x) = f(x)$).

В условиях данной задачи криволинейная трапеция ограничена линиями:

• $y = f(x)$ — сверху (по условию, функция неотрицательна, $f(x) \ge 0$)
• $y = 0$ (ось Ox) — снизу
• $x = 3$ — левая граница
• $x = 5$ — правая граница

Следовательно, пределы интегрирования в формуле Ньютона-Лейбница равны $a = 3$ и $b = 5$.

Алгоритм вычисления площади будет следующим:

1. Найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.
2. Вычислить значение первообразной в точке верхнего предела интегрирования: $F(5)$.
3. Вычислить значение первообразной в точке нижнего предела интегрирования: $F(3)$.
4. Найти разность этих значений: $S = F(5) - F(3)$.

Таким образом, площадь фигуры равна значению определенного интеграла от функции $f(x)$ в пределах от 3 до 5.

Ответ: Площадь данной криволинейной трапеции вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{3}^{5} f(x) \,dx$.