Номер 3, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Вычисление объёмов и площадей поверхности тел вращения при помощи определённого интеграла.

Определенный интеграл является мощным инструментом для вычисления геометрических характеристик фигур и тел. Рассмотрим, как с его помощью находить объемы и площади поверхностей тел, образованных вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей.

Вычисление объема тела вращения

Тело вращения образуется при вращении криволинейной трапеции вокруг оси. Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми.

1. Вращение вокруг оси Ox

Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции $y = f(x)$, где $f(x) \ge 0$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. При вращении этой трапеции вокруг оси $Ox$ образуется тело вращения.

Для нахождения его объема мы используем метод дисков. Мысленно разобьем тело на тонкие диски (цилиндры) толщиной $dx$, перпендикулярные оси $Ox$. Радиус каждого такого диска равен значению функции $y = f(x)$ в данной точке $x$. Площадь основания такого диска равна $S(x) = \pi y^2 = \pi [f(x)]^2$. Объем элементарного диска (цилиндра) равен $dV = S(x) dx = \pi [f(x)]^2 dx$.

Чтобы найти полный объем тела, нужно просуммировать объемы всех этих элементарных дисков, что соответствует операции интегрирования в пределах от $a$ до $b$.

Формула для вычисления объема тела вращения вокруг оси $Ox$:

$V_x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

2. Вращение вокруг оси Oy

Аналогично, если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции $x = g(y)$, где $g(y) \ge 0$, осью $Oy$ и прямыми $y=c$ и $y=d$, то при вращении этой фигуры вокруг оси $Oy$ объем полученного тела вычисляется по формуле:

$V_y = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$

В этом случае радиусом диска является значение $x = g(y)$, а его толщина равна $dy$.

Ответ:

Объем тела, образованного вращением кривой $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$ вокруг оси $Ox$: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.

Объем тела, образованного вращением кривой $x = g(y)$ на отрезке $[c, d]$ вокруг оси $Oy$: $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$.

Вычисление площади поверхности тела вращения

Площадь поверхности вращения — это площадь боковой поверхности тела, образованного вращением дуги кривой вокруг оси (не включая площади оснований).

1. Вращение вокруг оси Ox

Пусть гладкая кривая задана уравнением $y = f(x)$, где $f(x) \ge 0$ и $f'(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$. При вращении этой кривой вокруг оси $Ox$ образуется поверхность вращения.

Для нахождения площади этой поверхности мы рассматриваем малый элемент дуги кривой $dl$. При вращении этот элемент образует узкую полоску, площадь которой можно аппроксимировать площадью боковой поверхности усеченного конуса. Площадь этого элементарного фрагмента поверхности равна $dS = 2\pi y \cdot dl$, где $y = f(x)$ — радиус вращения, а $dl$ — дифференциал длины дуги.

Дифференциал длины дуги вычисляется по формуле: $dl = \sqrt{1 + (y')^2} dx = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$.

Подставляя это в выражение для $dS$ и интегрируя по отрезку $[a, b]$, получаем формулу для площади поверхности вращения:

$S_x = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

2. Вращение вокруг оси Oy

Если гладкая кривая задана уравнением $x = g(y)$, где $g(y) \ge 0$ и $g'(y)$ непрерывна на отрезке $[c, d]$, то площадь поверхности, образованной ее вращением вокруг оси $Oy$, вычисляется по аналогичной формуле. Здесь радиусом вращения будет $x = g(y)$, а дифференциал дуги $dl = \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$.

$S_y = 2\pi \int_{c}^{d} g(y) \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$

Ответ:

Площадь поверхности, образованной вращением кривой $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$ вокруг оси $Ox$: $S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$.

Площадь поверхности, образованной вращением кривой $x = g(y)$ на отрезке $[c, d]$ вокруг оси $Oy$: $S = 2\pi \int_{c}^{d} g(y) \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$.