Номер 5, страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. На отрезке $[11; 21]$ наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется ближе к числу 19, чем к числу 17?

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события в таких задачах равна отношению меры (в данном случае — длины) множества благоприятных исходов к мере всего пространства исходов.

1. Сначала определим меру всего пространства исходов. Это длина отрезка, на котором случайным образом выбирается точка. Исходный отрезок — $ [11; 21] $. Его длина равна: $ L_{общ} = 21 - 11 = 10 $.

2. Теперь найдем множество благоприятных исходов. Пусть $x$ — это координата выбранной точки. Условие, что точка $x$ находится ближе к числу 19, чем к числу 17, можно записать в виде неравенства, используя определение расстояния на числовой прямой: $ |x - 19| < |x - 17| $

Чтобы найти, при каких значениях $x$ выполняется это условие, можно найти точку, которая равноудалена от 17 и 19. Эта точка является серединой отрезка $ [17; 19] $: $ x_0 = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18 $.

Все точки, расположенные правее $x_0 = 18$, будут ближе к 19, а все точки, расположенные левее, будут ближе к 17. Следовательно, условию $ |x - 19| < |x - 17| $ удовлетворяют все $x$, для которых $ x > 18 $.

3. Нам нужно найти те точки из исходного отрезка $ [11; 21] $, которые удовлетворяют условию $ x > 18 $. Это будет отрезок $ (18; 21] $.

4. Найдем меру (длину) этого множества благоприятных исходов: $ L_{бл} = 21 - 18 = 3 $.

5. Искомая вероятность равна отношению длины благоприятного отрезка к длине всего отрезка: $ P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{3}{10} = 0,3 $.

Ответ: 0,3