Номер 3, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Сформулируйте постановку вопроса в схеме Бернулли.

Схема Бернулли, также известная как последовательность независимых испытаний, описывает стохастический эксперимент, который должен удовлетворять следующим строгим условиям:

• Проводится серия из фиксированного числа $n$ испытаний.
• Все испытания являются независимыми. Это означает, что исход любого одного испытания не оказывает влияния на исходы всех остальных.
• Каждое отдельное испытание имеет ровно два возможных исхода. По традиции их называют «успех» и «неудача».
• Вероятность «успеха», обозначаемая как $p$, является постоянной для каждого испытания. Соответственно, вероятность «неудачи», обозначаемая $q$, также постоянна и равна $q = 1 - p$.

Постановка вопроса в схеме Бернулли

Основной вопрос, для ответа на который предназначена схема Бернулли, формулируется так: какова вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность «успеха» равна $p$, произойдет ровно $k$ «успехов»?

Для нахождения этой вероятности, которую обозначают как $P_n(k)$, применяется формула Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В этой формуле:

• $n$ — общее число проведенных испытаний.
• $k$ — требуемое число «успехов» ($0 \le k \le n$).
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании.
• $q = 1-p$ — вероятность «неудачи» в одном испытании.
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент, то есть число способов выбрать $k$ позиций для «успехов» из $n$ возможных.

Ответ: В схеме Бернулли ставится вопрос о нахождении вероятности того, что при $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события A («успех») постоянна и равна $p$, событие A произойдет ровно $k$ раз.